Romanian Master of Mathematics 2013

[drago]

http://rmms.lbi.ro/rmm2013/index.php?id=problems_math

[inveidar]

http://rmms.lbi.ro/rmm2013/index.php?id=problems_math

Линкът не се отваря. По-добре си ги свалете от тук - http://www.bmoc.maths.org/home/rmm.shtml

[drago]

Линкът сега си е наред. Там можете да видите и решенията.
Някакви отзиви и коментари?

[drago]

Явно през втория ден са дадени малко по-лесни задачи. Например 4-та. За да се реши трябва само малко анализ, кога [tex]\frac{P'}{P}[/tex] може е най-голямо и че то може да се приближава колкото искаме до 2 отдолу. В решението обаче не е обърнато внимание на това- просто се построява примера.
5-та зад. - човек просто трябва да се замисли кога дясната страна на израза прави скок, при положение, че [tex]x[/tex] скача надясно по естествените числа и че не може да направи скок с повече от 1(в смисъл, то може, но при така дефинирата последователност на [tex]a_i[/tex] - тата- това се изключва). И за най-малкото [tex]x[/tex], такова че лявата и дясната страна се изрваняват, дясната страна няма да направи скок.
6-та задача- За мен много интуитивно очевидно твърдение, на което му е по-дълго доказателството, отколкото да се "види", че е така.
Задачи 1 и 3 няма да ги коментирам. Вижте им решенията.
И така идваме до задача 2. Считам, че това е най-голямото попадение на това състезание. Това един вид замества като тип втръсналите функционални уравнения, които станаха стандартни, и за които има изписана достатъчно литература. Вижте например в арт-а; на момента след като се появи функционално у-ние, се появяват няколко негово решения. Това означава, че са се стандартизирали до такава степен, че рядко може да се даде нещо със свежа идея.
Тази задача е нещо различно и много ми хареса.
Бих искал да напиша и моето решение, не защото идеята е нещо по-различна от тази на решение 2 в брошурата, а защото бих обърнал повече внимание на мотивацията: защо решаваме, че такава двойка [tex]g, h[/tex] съществуват и логиката, която стои зад построяването на пример на такива функции. Смятам, че на това е обърнато много малко внимание в предоставените решения.
Същото се отнася и за задачите 4 и 6.

[Гост]

И така идваме до задача 2. Считам, че това е най-голямото попадение на това състезание. Това един вид замества като тип втръсналите функционални уравнения, които станаха стандартни, и за които има изписана достатъчно литература. Вижте например в арт-а; на момента след като се появи функционално у-ние, се появяват няколко негово решения. Това означава, че са се стандартизирали до такава степен, че рядко може да се даде нещо със свежа идея. Тази задача е нещо различно и много ми хареса.
Бих искал да напиша и моето решение, не защото идеята е нещо по-различна от тази на решение 2 в брошурата, а защото бих обърнал повече внимание на мотивацията: защо решаваме, че такава двойка [tex]g, h[/tex] съществуват и логиката, която стои зад построяването на пример на такива функции. Смятам, че на това е обърнато много малко внимание в предоставените решения.

Опитай с g=x+1 и h=x^2 и мнението ти ще е малко по-различно.

[drago]

Поясни се малко по-подробно!
Ако се опитваш да кажеш, че задачата не заслужава внимание, защото има прост пример на функции, [tex]g(x)=x+1,\, h(x)=x^2[/tex], че единствената функция комутираща и с двете е идентитета, то това не е така- тези функции НЕ стават. И това само доказва, че дадените решения на задачата не дават достатъчна ясна идея какви характеристики трябва да имат [tex]g[/tex] и [tex]h[/tex] , за да "стават". Иначе щеше да знаеш, че има 1001 причини тези функции да не стават.
Това, което трябва да направя е да намеря [tex]f(x)[/tex] различна от id, която да комутира с [tex]g[/tex] и [tex]h[/tex].
Нека [tex]x_0=\frac{1}{3}, y_0=\frac{1}{2}[/tex]. Полагаме:

[tex]x^{(1)}_{i+1}=g(x^{(1)}_{i})\,,\,x^{(2)}_{i+1}=h(x^{(2)}_{i})[/tex]

[tex]y^{(1)}_{i+1}=g(y^{(1)}_{i})\,,\,y^{(2)}_{i+1}=h(y^{(2)}_{i})[/tex]
[tex]i=0,1,2,\ldots[/tex]
Сега нека [tex]f(x)[/tex] съвпада с [tex]x[/tex] за всички [tex]x[/tex] различни от [tex]x^{(1)}_i,x^{(2)}_i[/tex]. За тях дефинираме:
[tex]f(x^{(1)}_i)=y^{(1)}_i \,,\,f(x^{(2)}_i)=y^{(2)}_i \,,i=0,1,\ldots[/tex]

Това е. Провери, че [tex]f\circ g = g\circ f[/tex] и [tex]f\circ h = h\circ f[/tex].

[Гост]

Нека [tex]x_0=\frac{1}{3}, y_0=\frac{1}{2}[/tex]. Полагаме:

[tex]x^{(1)}_{i+1}=g(x^{(1)}_{i})\,,\,x^{(2)}_{i+1}=h(x^{(2)}_{i})[/tex]

[tex]y^{(1)}_{i+1}=g(y^{(1)}_{i})\,,\,y^{(2)}_{i+1}=h(y^{(2)}_{i})[/tex]
[tex]i=0,1,2,\ldots[/tex]
Сега нека [tex]f(x)[/tex] съвпада с [tex]x[/tex] за всички [tex]x[/tex] различни от [tex]x^{(1)}_i,x^{(2)}_i[/tex]. За тях дефинираме:
[tex]f(x^{(1)}_i)=y^{(1)}_i \,,\,f(x^{(2)}_i)=y^{(2)}_i \,,i=0,1,\ldots[/tex]

Това е. Провери, че [tex]f\circ g = g\circ f[/tex] и [tex]f\circ h = h\circ f[/tex].

Нещо не ми харесва в тази конструкция. Какво се променя в нея, ако f и g са биекции?
Сигурно си видял и това http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=523071

[drago]

Не, линка в арт-а не съм го преглеждал, но сега го видях.
Защо не го даде като аргументация още в първия пост, ами ме накара да напиша толкова глупости . Помислих, че някой пак спами и интуицията ми ме подведе. Нищо, човек трябва да може да извлича ценните идеи, а поста в арта дава още един начин за доказване, че такива функции съществуват. Ако се преработи порядъчно, мисля, че може да се построят биекции [tex]g=x+1[/tex] и [tex]h[/tex] която се "държи" като [tex]x^2[/tex]- раздува образите на две точки все повече и повече.
Това човек може да го дълбае, като има време. Кокото до моя "пример" по-горе на функция f, комутираща с g,h. Принципа беше такъв: Ако вземем идентитета f и го променим в една точка[tex]x_0 \to y_0,\, x_0\neq y_0[/tex]. какво се случва тогава? [tex]f[/tex] ще се промени в цяла верига от точки. Тези, които съм написал, НО и още много други, които не съм написал. Така че в този случай, човек трудно може да обозре дали няма да се получи противоречие с началната промяна в т. [tex]x_0[/tex]. Т.е. явно ще се получи.

След всичко това: считам,че макар и малко да губи, задачата си остава много хубава. Защото в рамките на времето на състезанието трябва да се прецени има ли такава двойка g,h, след това да се обоснове. Въпреки, че тази двойка "елементарни" функции x+1, x^2 решават задачата, все пак си мисля, че по-мотивираното решение не е това!!

[Гост]

Не, линка в арт-а не съм го преглеждал, но сега го видях.
Защо не го даде като аргументация още в първия пост

Извинявай! Ако това ме оправдава, ще кажа, че и аз не бях гледал там, когато питах за тези f и g. Но пак съм те подвел, защото бях сигурен - знаех, че на самото състезание има решение от бразилец с този пример, оценено със 7 точки. А руското решение например е като второто официално.