„Турнир проф. Борислав Боянов”, Втори кръг, Втора задача

[strangerforever]

Даден е триъгълник ABC, като AC > BC. Вписаната в триъгълника окръжност пресича височината CH ([tex]H \in AB[/tex]) в точките K и L, като K е между C и L. Да се намерят дължините на страните на триъгълника ABC, ако [tex]CK = \sqrt{192} - \sqrt{143}[/tex], [tex]KL = 2\sqrt{143}[/tex], [tex]LH = \sqrt{147} - \sqrt{143}[/tex].

[Xixibg]

Много лесна задача.Струва ми се ,че нивото на конкурса спада.Предишните години задачите бяха по сериозни.

[tex]AB=98 ; AC=70 ; BC=42[/tex]
Две Питагорови теореми и 2 пъти метрични зависимости.........
[tex]M,N,P[/tex] са допирните точки на вписаната окръжност съответно до [tex]AB , BC , AC[/tex]
[tex]CP^2=CK.CL=(\sqrt{192}-\sqrt{143})(\sqrt{192}+\sqrt{143})=49 ; =>CP=7[/tex]
[tex]MH^2=LH.KH=(\sqrt{147}-\sqrt{143})(\sqrt{147}+\sqrt{143})=4 ; =>MH=2[/tex]
[tex]BH=x ; =>BM=BN=2+x ; =>BC=9+x[/tex]
[tex]BC^2=BH^2+CH^2 ; =>(9+x)^2=x^2+(15\sqrt{3})^2 ; =>x=33 ; =>BC=42[/tex]
[tex]AM=AP=y ; =>AH=y+2 ; AC=y+7[/tex]
[tex]AC^2=AH^2+CH^2 ; =>(y+7)^2=(y+2)^2+(15\sqrt{3})^2 ; =>y=63 ; =>AC=70[/tex]
[tex]AB=y+x+2=98[/tex]

[inveidar]

Много лесна задача.Струва ми се ,че нивото на конкурса спада.Предишните години задачите бяха по сериозни.

Е, ти видя ли и другите задачи? Трябва ли всичките да са много трудни?

[Xixibg]

Не съм ги видял.Пуснете условията

[drago]

Ето ги задачите:
http://www.fmi.uni-sofia.bg/turniri/Tou ... blems2.pdf
Малко по задача 5, тъй като може би е най-трудната.

Задача 5. Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които полиномът
[tex]f(x) = x^{2n} + x^{n} + 1[/tex] е неразложим над [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] (т.е. [tex]f(x)[/tex] не може да се представи като произведение на два неконстантни полинома с цели коефициенти).

Решението може да го видите в сайта на ФМИ на СУ, но някак не става ясно защо постъпваме точно така. Забележете сега, че [tex]x^2+x+1[/tex] е цикломатичния полином [tex]\Phi_3(x)[/tex] от ред 3. Цикломатичните полиноми имат хубави свойсва, едно от които е:
Теорема:
Ако [tex]a, n[/tex] са естествени числа, за които [tex]\gcd(a,d)=1[/tex] то:

[tex]\Phi_a(x^n) = \prod_{d|n} \Phi_{d a}(x)[/tex].

Eто една препратка към много хубава статия за цикломатичните полиноми с акцент на олимпиадните задачи: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?id=42409
В статията това твърдение е под номер теорема 3.5.

Можете ли да видите как това твърдение ни помага?

[grav]

Да, това е може би най-интересната задача, но пък е 'добре известна', ако човек знае теория, за ученици е прекрасна.

Думата не е ли "циклотомични"?

[Гост]

Малко по задача 5, тъй като може би е най-трудната.

Задача 5. Да се намерят всички естествени числа [tex]n[/tex], за които полиномът
[tex]f(x) = x^{2n} + x^{n} + 1[/tex] е неразложим над [tex]\mathbb{Z}[x][/tex] (т.е. [tex]f(x)[/tex] не може да се представи като произведение на два неконстантни полинома с цели коефициенти).

Това няма ли го във Фадеев-Сомински?

[drago]

Да, това е може би най-интересната задача, но пък е 'добре известна', ако човек знае теория, за ученици е прекрасна.

Думата не е ли "циклотомични"?

Думата е "циклотомичен" от циклотомия, което би трябвало да напомня на нещо като зацикляне. Съжалявам, на тази думя явно пренареждам реда на сричките.
Фадеев-Сомински не съм го отварял, но от пряката връзка с циклотомичните полиноми (този път правилно ) е ясно как е съставена задачата.

[grav]

За 3 а) може и така: за корените на полинома неравенството е очевидно, за останалите стойности на аргумента, от

[tex]\left(\frac{f'}f\right)'=\frac{f''f-(f')^2}{f^2}[/tex]

е ясно, че неравенството е равносилно на това функцията

[tex]\left(\frac{f'}f\right)=\sum\frac1{x-x_i}[/tex]

да е намаляваща.

[drago]

... е ясно, че неравенството е равносилно на това функцията

[tex]\left(\frac{f'}f\right)=\sum\frac1{x-x_i}[/tex]

да е намаляваща.

което очевидно е така между двойките корени, наредени по нарастване.

А какво ще кажете за 4-та. Също е добро попадение!

[grav]

Четвъртата на мен ми хареса най-много.

[drago]

Да, хубава е задачката. Интуитивно е ясно, че можем да балансираме някакви цели тежести във върховете, така че центъра на тежестта им да се приближава колкото искаме до [tex]O[/tex]. Освен това е ясно как да процедираме: първо вземаме реални числа [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex], така че:
(1) [tex]\alpha \vec{OA}+ \beta \vec{OB}+\gamma \vec{OC}=0;\,\,\, 0<\alpha, \beta,\gamma <1[/tex]

След това приближаваме [tex]\alpha, \beta,\gamma[/tex] с рационални числа числа, колкото искаме близко и умножаваме с нещо, за да станат естествени. Това е плана и е прaвилен, но точно тук изниква проблема. Ако приближим [tex]\alpha[/tex] с [tex]\frac{p}{q}[/tex] , е ясно че точността е от порядъка на [tex]\frac{1}{q},[/tex] т.е. за [tex]\forall q,\,\exists p[/tex], така че:
(2) [tex]|\alpha-\frac{p}{q}| \leq \frac{1}{q}[/tex]
Това е елементарно. Сега като умножим (2) по [tex]q[/tex] става:
(3) [tex]|\alpha q -p| \leq 1[/tex]

Приближението вече хич не е малко. Значи, ако искаме да прокараме този подход трябва да апроксимираме[tex]\alpha[/tex] много по-добре: трябва вместо (2) в дясната страна да стои неще много по-малко от [tex]\frac{1}{q}[/tex].
И тук вече е хубаво да знаем следната теорема (на Дирихле?)
Теорема (на Дирихле): Ако [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex], то за всяко естествено [tex]N[/tex] съществува [tex]q,\, 0<q\leq N[/tex] и цяло [tex]p[/tex], така че:

(4) [tex]|\alpha - \frac{p}{q}| \leq \frac{1}{q\cdot N}[/tex]

Това вече е по-добре, но ние трябва едновременно да апроксимираме и трите: [tex]\alpha, \beta,\gamma[/tex]. Всъщност може да си улесним малко нещата- може да считаме че[tex]\gamma=1[/tex]. И сега ни трябват две рационални [tex]\frac{p_1}{q}, \frac{p_2}{q}[/tex] с един и същ знаменател, така че [tex]|\alpha-\frac{p_1}{q}|[/tex] и [tex]|\beta-\frac{p_2}{q}|[/tex] едовременно са малки- нещо като (4) , но и за двете. Оказва се че това може да се направи, но с [tex]\sqrt{N}[/tex] на мястото на [tex]N[/tex].
По подробно вижте тук: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1#p2810081

Всъщност идеята на тази задача в арт-а и официалното решение на турнира за купата на декана, използват една и съща идея- като в теоремата на Дирихле, но в равнината.

И така 4-та и 5-та са си хубави задачи. Някой по-горе каза, че нивото е слабо- не съм съгласен, задачите според мен са добре подбрани. И си мисля, че ако не се знае теорията, която помага да решим 4-та и 5-та, е доста трудничко да направим това онлайн в рамките на състезанието.