ПМС- 2013

[Гост]

Задачите за ПМС?

[Гост]

Задачите за ПМС?

Има ги на сайта на МГ Ямбол http://mgyambol.com/

[Гост]

А някой да има задачите по лингвистика?

[drago]

Задачите за ПМС?

Има ги на сайта на МГ Ямбол http://mgyambol.com/

Струват ми се по-лесни от ЗМС-2013.
А 12.4 - толкова ясна задача и само 1 решение !!

[Гост]

може ли да дадете решение, което не е с пермутации на 10.4?

[drago]

Относно 10.4. Може и без да се споменава думичката "пермутация", въпросът е защо? В самата природата на този проблем са пермутациите.
Според мен към него трябва да се подходи така:
Да оставим за момент настрана въпроса на задачата и цветовете на клетките и да се запитаме кои са всевъзможните позиции, които пуловете могат да заемат след n-тия ход.
Естествено правим някои проби за n=2,3,4 и виждаме, че че ако означим с (x, y) координатите на пуловете, то винаги можем да подредим пуловете в някаква редица по следния начин:

(1) [tex]\,\,\, (x_1, x_2);(x_2,x_3);(x_3,x_4);\ldots ; (x_n,x_1).[/tex]

като [tex]x_1,x_2,\ldots,x_n[/tex] са различни и са измежду числата от [tex]1[/tex] до [tex]n[/tex] (т.е. някаква тяхна пермутация).
(втората координата на всеки пул съвпада с първата на следващия и втората координата на "последния" съвпада с първата координата на първия.)
Забележете как координатите са захванати един за друг на "хорото".

След като сме стигнали до този извод (да кажем по емпиричен път), то това вече лесно се доказва. Например ако допуснем, че на n-тия ход пуловете могат да се подредят както по-горе, то какъвт и ход да направим, след него пуловете могат да се подредят така:

[tex](x_1, x_2);(x_2,x_3);\ldots ; (x_{j-1}, x_j); (x_j, n+1); (n+1, x_{j+1}); (x_{j+1},x_{j+2});\ldots ;(x_n,x_1)[/tex]

Забележете как [tex]n+1[/tex] се закачва някъде на хорото, където всички координати са oт 1 до n.

Сега остава да докажем пак по индукция, че всевъзможните подредби като в (1) са достижими по някакъв начин след n-тия ход.

Накрая остава да се съобрази кога една редичка като в (1) стъпва само в/у черни полета и след това да преброим колко са всевъзможните такива редички (реда, в който са изредени в (1) не е важен, важно е множеството от двойките, защото едни и същи двойки може да ги изредим по различни начини ([tex]n[/tex] на брой), като започнем от която си искаме от тях).

Тук никъде не се употребява думичката пермутация, но ако човек е запознат поне на ниво дефиниции и основни факти какво е пермутация, това само ще му помогне при тази задача.

[drago]

Тъй като племеницата ми не се е справила със 4-та за 7-ми клас в този турнир, бях любопитен да я видя. За да не ровите по сайта на министерството давам условието:

Задача 7.4. Квадрат с размери [tex]n\times n[/tex] в сантиметри ( [tex]n[/tex] е естествено число) е разделен на единични квадратчета със страни 1 см и във върховете му е поставена по една пионка. За един ход четирите пионки се преместват едновременно на разстояние 1см. хоризонтално или вертикално.
Възможно ли е след определен брой ходове да се обходят всички страни на единичните квадратчета точно по веднъж във всяка от двете посоки и пионките да се върнат в изходните си позиции, ако не е разрешено едновременно пребиваване на пионки във върховете на единичните квадратчета? Не е задължително обхождането на страна на единично квадратче да се осъществява от една и съща пионка и в двете посоки. Обосновете отговора си при:
а) [tex]n = 2[/tex] ; б) [tex]n = 3[/tex]; в) [tex]n = 5[/tex].

Нищо че е за 7-ми клас, пускам поста в този раздел, тъй като би имало повече коментари.
И така, мисля че това е (сравнително) най-трудната задача в състезанието от 4-ти до 12-ти клас. За съпоставка- 12.4 се решава на ум.
Как мислете?

[drago]

...Как мислете?

Как мислите?