Граница

[martin123456]

Нека [tex]f:[0,+\infty)\to \mathbb{R}[/tex] е непрекъсната функция, за която [tex]|f(x+y)-f(x)-f(y)|<1[/tex] за всеки [tex]x,y\in [0,+\infty)[/tex]. Докажете, че [tex]\exist \lim_{x\to +\infty}{\frac{f(x)}{x}}[/tex].

[drago]

Нека [tex]x>0, n \in \mathbb{N}[/tex]. Последователно получаваме:

[tex]|f(nx)- n f(x)| < n-1 \Rightarrow[/tex]

[tex](1) \,\,\, \left | \frac{f(nx)}{nx} - \frac{f(x)}{x} \right | < \frac{1}{x}[/tex]

Това сякаш ни дава възможност да приложим Коши за граница на [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex], обаче трябва още малко да се потрудим, защото за да използваме Коши трябва да докажем (1) като на мястото на [tex]nx[/tex] стои произволно достатъчно голямо [tex]y[/tex].
Нека вземем някакво [tex]y[/tex] и го представим като[tex]y = nx+y'[/tex] , където [tex]0\leq y' < 1[/tex].
Tъй като [tex]f[/tex] e непрекъсната, то тя е ограничена в [tex][0,1][/tex] и значи [tex]\forall y'\in[0,1]\,:\,|f(y')| < M[/tex] за някое [tex]M[/tex]. Toгава:

[tex]\left |\frac{f(nx+y')}{nx+y'} - \frac{f(nx)}{nx+y'}\right | < \frac{M+1}{nx+y'}[/tex]
kоето дава:

(2) [tex]\,\,\, \left |\frac{f(nx+y')}{nx+y'} - \frac{f(nx)}{nx}\right |<[/tex]

[tex]< \frac{M+1}{nx+y'} +\left |\frac{f(nx)}{nx+y'}- \frac{f(nx)}{nx}\right |=[/tex]

[tex]=\frac{M+1}{nx+y'} +\left |\frac{y' f(nx)}{(nx+y')nx}\right | <[/tex]

[tex]<\frac{M+1}{nx}+ \frac{1}{nx}.\frac{|f(nx)|}{nx}<[/tex]
(като използваме (1) )
[tex]< \frac{M+1}{nx} + \frac{1}{nx}\left( \frac{|f(x)|}{x} + \frac{1}{x} \right).[/tex]

Сега (1) и (2) дават:

(3) [tex]\,\,\, \left|\frac{f(nx+y')}{nx+y'} - \frac{f(x)}{x}\right| < \frac{M+1}{nx} + \frac{1}{nx}\left( \frac{|f(x)|}{x} + \frac{1}{x} \right)+ \frac{1}{x}[/tex]

Сега е вече e ясно. Караме по дефиницията за сходимост по Коши. Вземаме [tex]\varepsilon >0[/tex]. Вземаме дост. голямо [tex]x[/tex] ,така че [tex]\frac{1}{x}<\varepsilon[/tex], тогава каквото и да е [tex]\frac{|f(x)|}{x}[/tex], можем да изберем дост. голямо [tex]n[/tex], така че дясната страна на (3) да е по-малка от [tex]\varepsilon[/tex].
Значи за всяко [tex]y > y_0 = nx[/tex] ще имаме:

[tex]\left|\frac{f(y)}{y} - \frac{f(x)}{x}\right| < \varepsilon[/tex]

Горе долу това е (еквивалентно на това) сходимостта по Коши, не съм си давал труда да го вкарам съвсем по канона, нo това е.

Забележете, че използваме само ограничеността на [tex]f[/tex] в [tex][0,1][/tex] . Всъщност стига само f да е ограничена в някакъв интервал, колкото и малък да е. И няма чудно - това прилича на функционалното уравнение на Коши, ако говорим на едро, тук имаме, че f(x+y) не е много далеч от f(x)+f(y). За сметка на тази неопределеност, вместо f(x)=kx ще имаме, че f(x) се приближава асимптотично до някакво kx.
Задачата е повече за техника, отколкото с някаква оригинална идея. A откъде е?

[drago]

Опс, нещо много съм разсеян и съм допуснал досадна грешка. Тъй като не мога да я поправя (супер тъпо), ще обясня.
Вместо това:
Нека вземем някакво [tex]y[/tex] и го представим като [tex]y = nx+y'[/tex] , където [tex]0\leq y' < 1[/tex].
Tъй като [tex]f[/tex] e непрекъсната, то тя е ограничена в [tex][0,1][/tex] и значи [tex]\forall y'\in[0,1]\,:\,|f(y')| < M[/tex] за някое [tex]M[/tex]. Toгава:
...

трябва да се чете така:
Нека вземем някакво [tex]y[/tex] и го представим като [tex]y = nx+y'[/tex] , където [tex]0\leq y' < x[/tex].
Tъй като [tex]f[/tex] e непрекъсната, то тя е ограничена в [tex][0,x][/tex] и значи [tex]\forall y'\in[0,x]\,:\,|f(y')| < M[/tex] за някое [tex]M[/tex]. Toгава:
...
Надолу е същото..., трябва да отчетем, че M зависи от x , но това няма никакво значение за разсъжденията надолу. Има само някои дребни поправки, като:
...
[tex]=\frac{M+1}{nx+y'} +\left |\frac{y' f(nx)}{(nx+y')nx}\right | <[/tex]

[tex]<\frac{M+1}{nx}+ \frac{x}{nx+x}.\frac{|f(nx)|}{nx}<[/tex]
(като използваме (1) )
[tex]< \frac{M+1}{nx} + \frac{1}{n+1}\left( \frac{|f(x)|}{x} + \frac{1}{x} \right).[/tex]

Сега (1) и (2) дават:

(3) [tex]\,\,\, \left|\frac{f(nx+y')}{nx+y'} - \frac{f(x)}{x}\right| < \frac{M+1}{nx} + \frac{1}{n+1}\left( \frac{|f(x)|}{x} + \frac{1}{x} \right)+ \frac{1}{x}[/tex]
...

[drago]

Тъй като съм любопитен и за други подходи, реших да пусна задачата в арт-а. Можете да видите още едно нейно решение.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=529081