зад.8, канд.студ. изпит ФМИ

[drago]

Един приятел ми показа задача давана на кандидатстудентски изпит във ФМИ на СУ на 31.03.2013. (8-ма задача). Ето я по-долу.

Задача 8. Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex] с височина през върха [tex]C\,\,[/tex] [tex]h_c=5[/tex]. Реалните числа [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] са такива, че [tex]p+q=1[/tex]. Да се намери най-малката стойност на израза:
[tex]p AC^2+q BC^2-pq AB^2[/tex] .

Пускам я тук защото задачата е малко нестандартна за кандитатстуд. изпит, не е трудна, но е странна. Ако не сте я виждали я опитайте без да гледате 2-те решения в сайта на ФМИ. Не мисля, че са "истината" за тази задача. Особено 2-рото е на принципа: "защо просто, като може сложно".
Въпросът ми е: виждате ли геометричния смисъл на задачата и как авторът е стигнал до формулировката?

[grav]

Понеже знам, че идва от кандидат студентски изпит, първото нещо което пробвах е това, което са дали като второ решение.

[drago]

Да, може би този начин е най-директен, но... бррр...много сметки!
Аз я реших така: Нека височината е [tex]CH[/tex], oзначаваме [tex]a_1 = AH, \, b_1 = BH[/tex] и [tex]h=CH[/tex], всъщност [tex]h=5[/tex]. Сега всички страни на триъгълника се изразяват с [tex]a_1,b_1[/tex] и [tex]h[/tex]. Заместваме, съвсем леки преобразувания и за израза се получава: [tex]h^2 + (pa_1-q b_1)^2[/tex]. Най-малката стойност е ясна. Мисля, че това е най-лесно, но не ми беше това целта, ясно е, че има много решения.
Това, което ме заинтересува беше как на автора му е хрумнало да напише този израз, откъде е изхождал?

[grav]

Хм, вярно! Това също ми хрумна, но бях решил, че ще е с повече сметки.

Кажи каква е идеята.

[Гост]

Теорема на Стюарт (X лежи на страната AB на триъгълник ABC):

[tex]CX^{2} = CA^{2}\frac{XB}{AB } + CB^{2}\frac{XA}{AB } -\frac{XA}{AB } \frac{XB}{AB }[/tex]

Оттук може директно да се построи точка X върху AB, такава че XA/XB = p/q и изразът излиза равен на дължината на CX която е поне 5.

[drago]

Горният пост не е мой.
Хм, теорема на Стюард, ... хубавото в математиката е, че до много резултати може да се стигне по различни начини.
Моята интерпретация беше малко по-различна.

Ако са дадени [tex]k[/tex] точки: [tex]A_1, A_2, \ldots, A_k[/tex] (в равнината, пространството) с маси съответно [tex]m_1,m_2,\ldots, m_k[/tex], и точка [tex]X[/tex], то инерционен момент на системата точки [tex]A_i[/tex] относно [tex]X[/tex] e величината:
[tex]I(X) = \sum_{i=1}^{k} m_i XA_i^2[/tex]
В сила е следната:
Теорема. Ако [tex]G[/tex] е центъра на тежестта на системата точки [tex]A_1,\ldots, A_k[/tex] то е изпълнено:

[tex]I(X) = (m_1+m_2+\ldots +m_k)XG^2 + I(G)[/tex].

Това твърдение(обикновено с [tex]m_i=1[/tex]) има приложения в олимпиадните задачи, напр вижте тези препратки:
viewtopic.php?f=49&t=12093&p=53733#p53717
viewtopic.php?f=10&t=8115

В нашия случай, нека т.[tex]A[/tex] има маса [tex]p[/tex] , а т. [tex]B[/tex] маса [tex]q[/tex] , като [tex]G[/tex] e центъра на тежестта на системата от тези 2 точки, [tex]G[/tex] дели [tex]AB[/tex] в отношение [tex]q:p[/tex].
Според горното твърдение имаме:

[tex]I(C) = (p+q)CG^2 + I(G)[/tex] или:

(1) [tex]\,\, (p+q)CG^2 = I(C) - I(G)[/tex].

Сега, ако се направим на автори на задачи, може да скрием за момент лявата част на (1) и да поставим въпроса кога [tex]I(C)-I(G)[/tex] достига мин. стойност, при условие, че [tex]p+q =[/tex] константа, напр. [tex]1[/tex]. Отговорът трябва да е, когато [tex]G[/tex] съвпада с [tex]H[/tex] и стойността ще бъде [tex]CH^2[/tex].
Накрая остава да забележим, че дясната част на (1) e точно нашия израз!

[grav]

Това е добро. Обичам решения, които правят задачата очевидна.