Олимпийски теми 2012, симедиани в триъгълник

[Гост]

Здравейте, може ли помощ със следната задача:
Дадена е полуокръжност w с център О. Върху диаметъра АВ на w е избрана точка Р, различна от О, А и В. Нека X и Y са такива точки върху w, че ъгъл APX = ъгъл BPY= α. Да се докаже, че правата XY пресича правата АВ в постоянна точка, която не зависи от големината на ъгъла α.

[Гост]

Приемаме, че т.М е между т.О и т.В, тогава
триъг. РХМ ~ триъг. ОУМ => OM/XM = OY/PX = YM/PM => OM*PM=XM*YM = MB*AM
от тук следва, че OM/MB=AB/PM т.е. положението на т.М зависи само от положението на т.Р