Нац. състезание, втори ден

[jamesb007]

Зад 4. Да се докаже, че ако[tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex],[tex]\gamma[/tex] [tex]\in[/tex] [tex][0,\pi/2)[/tex] и [tex]tan \alpha + tan \beta + tan \gamma \le 3[/tex] , то [tex]\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma \ge 0[/tex]

Зад.5 Даден е остроъгълен [tex]\Delta ABC[/tex] с височини [tex]AA_1,BB_1, CC_1[/tex]. Върху продължението на [tex]B_1A_1[/tex] след [tex]A_1[/tex] е избрана точка [tex]C'[/tex], така че [tex]A_1C'=B_1C_1[/tex]. Аналогично върху продължението на [tex]A_1C_1[/tex] след [tex]C_1[/tex] е избрана точка [tex]B'[/tex], така че [tex]C_1B'=A_1B_1[/tex] и върху продължението на [tex]C_1B_1[/tex] след [tex]B_1[/tex] е избрана точка [tex]A'[/tex], така че [tex]B_1A'=C_1A_1[/tex]. Да означим с [tex]A'', B''[/tex] и [tex]C''[/tex] симетричните точки на [tex]A', B'[/tex]и [tex]C'[/tex] относно правите [tex]BC,CA[/tex] и [tex]AB[/tex]съответно. Да се докаже, че ако [tex]R, R'[/tex] и [tex]R''[/tex] са радиусите на описаните окръжности съответно около [tex]\Delta ABC,\Delta A'B'C'[/tex] и [tex]\Delta A''B''C''[/tex], то [tex]R, R'[/tex] и [tex]R''[/tex] са дължини на страните на триъгълник, чието лице е половината от лицето на [tex]\Delta ABC[/tex].

Зад.6 Нека [tex]m[/tex] е естествено число, a [tex]p[/tex] е просто число, [tex]p>m[/tex]. Да се докаже, че броят на естесвените числа [tex]n[/tex], за които [tex]m^2+n^2+p^2-2mn-2mp-2np[/tex] е точен квадрат на естесвено число, не зависи от [tex]p[/tex].

Моля Ви, без негативни коментари.

[drago]

Втора задача, от първия ден:

Намерете всички [tex]f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}[/tex] , ограничени в интервала [tex](0,1)[/tex] , за които е изпълнено:

[tex]x^2 f(x) - y^2 f(y) = (x^2-y^2) f(x+y) -xy f(x-y)[/tex]

за всички [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex]
/предложена от Н. Николов/

След като видях предложените 2 решения, реших да я пусна и в арт-а да видя, дали няма да се намерят и други подходи. Резултата може да видите тук:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=533752
Както се оказва, условието за ограниченост е напълно излишно.