Интересно неравенство :)

[manmanman]

Нека е даден полинома [tex]P(x)= a_{1}x^{2}+a_{2}x^{5}+...+a_{n}x^{3n-1}[/tex] с реални коефициенти.Да се докаже, че ако за всяко реално [tex]x[/tex] е изпълнено [tex]P(x)\ge 0[/tex] , то [tex]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{i}a_{j}a_{k}}{i+j+k}\ge 0[/tex]

[kucheto]

[tex]\frac{a_ia_ja_k}{i+j+k}=\int_0^1 a_ia_ja_kt^{i+j+k-1} dt\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow\sum_{i,j,k=1}^{n}\frac{a_{i}a_{j}a_{k}}{i+j+k}=\int_0^1\left(\sum_{i,j,k=1}^n a_ia_ja_kt^{i+j+k-1}\right) dt=\int_0^1 \left(\sum_{i=1}^n a_it^{i-\frac{1}{3}}\right)^3 dt,[/tex] но според условието подинтегралния израз е неотрицателно дефиниран (като положим [tex]t=x^3[/tex] достигаме до първоначално дадения многочлен, който по дефиниция е неотрицателен) и следователно и определеният интеграл е неотрицателен, с което неравенството е доказано.