геометрия

[Levskiiii]

Външно за страните АС и ВС (АС ≠ ВС) на триъгълник АВС са построени квадратите АСMN и ВСРQ. Ако точките М, N, Р и Q лежат на една окръжност, намерете <АСВ.

[math10.com]

4-ugalnik.png (87.6 KiB) Прегледано 291 пъти

[tex]\triangle APC,\triangle BMC[/tex] са еднакви по 1-ви признак , следователно [tex]AP=BM[/tex]
Нека [tex]\angle CAP=\alpha , \angle CPA=\beta[/tex] , следователно [tex]\angle CMB=\alpha ,\angle CBM=\beta[/tex] , като СЕЕТ
[tex]\angle AMB=\angle AMC-\angle BMC=45^\circ -\alpha ,\angle BPA=\angle BPC-\angle APC=45^\circ -\beta[/tex]
Нека [tex]AP\cap BM=G[/tex].Около [tex]NAGM, BQPG[/tex] може да се опише окръжност
следователно [tex]\angle AGN=\angle MGN=\angle BGQ=\angle PGQ=45^\circ[/tex] следователно [tex]G\in NQ[/tex]
[tex]\angle ANQ=\angle AMB=45^\circ -\alpha[/tex],следователно [tex]\angle QNM=45^\circ +\alpha[/tex]
Около [tex]MNQP[/tex] може да се опише окръжност,следователно [tex]\angle MPQ=180^\circ -\angle QNM=135^\circ -\alpha[/tex]
следователно [tex]\angle CPM=\angle MPQ-\angle CPQ=135^\circ -\alpha-90^\circ=45^\circ -\alpha[/tex]
аналогично [tex]\angle CMP=45^\circ -\beta[/tex]
От [tex]\triangle APC[/tex] следва , че [tex]\alpha +\beta+\gamma +90^\circ =180^\circ[/tex] или [tex]\gamma =90^\circ -(\alpha +\beta)[/tex]
За [tex]\triangle APM,\triangle BPM[/tex] прилагаме Синусова теорема
[tex]\frac{AP}{sin \angle AMP}=\frac{MP}{sin \angle PAM} ; =>AP=\frac{MP.sin {(90^\circ -\beta)}}{sin{(45^\circ +\alpha)}}=\frac{MP.cos \beta}{sin{(45^\circ +\alpha)}}[/tex]
[tex]\frac{BM}{sin \angle BPM}=\frac{MP}{sin \angle PBM} ; =>BM=\frac{MP.sin {(90^\circ -\alpha )}}{sin{(45^\circ +\beta }}=\frac{MP.cos \alpha }{sin{(45^\circ +\beta) }}[/tex]
[tex]AP=BM ; =>\frac{MP.cos \beta}{sin{(45^\circ +\alpha)}}=\frac{MP.cos \alpha }{sin{(45^\circ +\beta) }}[/tex]
следователно: [tex]cos \alpha .sin{(45^\circ +\alpha)}-cos \beta . sin{(45^\circ +\beta) }=0[/tex]
от където [tex]2.sin{(\alpha-\beta )}.cos {(45^\circ +\alpha+\beta )}=0[/tex]
което уравнение има решения [tex]\alpha =\beta[/tex] и [tex]\alpha +\beta=45^\circ[/tex]
от [tex]\alpha =\beta[/tex] следва ,че [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен ,което противоречи с условието [tex]AC\ne BC[/tex]
следователно [tex]\alpha +\beta=45^\circ[/tex] , от където [tex]\gamma =45^\circ[/tex]

П.П. Скуката надделя над мързела