Международно състезание последна задача

[dejavu]

Има лист с числа
а_{1) , a_{2}, …, a_{2010} . За 1 ≤ n ≤ 2010, където n е позитивно цяло число,нека
S_{n}=a_{1}+a_{2}+.....+a_{n}.Ако a_{1} = 2010 и S_{n}=n^2*a_{n} за всяко n
Каква е стойността на а_{2010} ?
Отговорът е 2/2011,решението е неизвестно.

[inveidar]

Има лист с числа
[tex]a_{1}, a_{2}, ..., a_{2010}[/tex] . За [tex]1\le n\le 2010[/tex], където n е позитивно цяло число,нека
[tex]S_{n}=a_{1}+a_{2}+.....+a_{n}[/tex].Ако [tex]a_{1} = 2010[/tex] и [tex]S_{n}=n^2.a_{n}[/tex] за всяко n
Каква е стойността на [tex]a_{2010}[/tex]?
Отговорът е 2/2011,решението е неизвестно.

Това ли е условието на задачата?

[math10.com]

[tex]S_n=a_n+S_{n-1}=a_n+(n-1)^2.a_{n-1}=n^2.a_n[/tex]
[tex]a_n=\frac{(n-1)^2.a_{n-1}}{n^2-1}=\frac{n-1}{n+1}.a_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}.\frac{n-2}{n}.a_{n-2}=\frac{\cancel{(n-1)}}{(n+1)}.\frac{(n-2)}{n}.\frac{(n-3)}{\cancel{(n-1)}}.a_{n-3}...................=[/tex]
[tex]...............=\frac{[n-(n-2)].[n-(n-1)]}{n(n+1)}.a_1=\frac{2}{n(n+1)}.a_1[/tex]
[tex]a_{2010}=\frac{2.\cancel{2010}}{\cancel{2010}.2011}=\frac{2}{2011}[/tex]

[Levskiiii]

Аз тръгнах да решавам така:
Очевидно a_(n+1) = S_(n+1) - S(n), откъдето a_(n+1) = (n+1)^2 . a_(n+1) - n^2 . a_n. Съответното характеристично уравнение е x^(n+1) = (n+1)^2 . x^(n+1) - n^2. x^n. Оттук, отчитайки, че х не е 0, получаваме x = n/(n+2) и значи
a_n = d. (n/(n+2))^n, където d = const. Полагайки n = 1, получаваме d = 6030 и a_n = 6030. (n/(n+2))^n, и се оказва че а_2 = 1507,5, но с помощта на условието лесно можем да намерим, че a_2 = 670. Къде греша?!? Моля, помогнете ми! Благодаря предварително!