Тригонометрично уравнение

[ins-]

Решете уравнението:
[tex]sinxsin2xsin3x+cosxcos2xcos3x=1[/tex]

Скрит текст: покажи

Задачата е от украинска математическа олимпиада.

[monika_at]

[tex]x=k\pi[/tex]

[drago]

Да предположим, че у-нието беше:
[tex]\sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x =1[/tex]
Тогава е лесно нали? Лявата страна става:
[tex]\frac{1}{2}(\cos x - cos 3x ) + \frac{1}{2}(\cos x + cos 3x ) = \cos x[/tex]
Това е мотивацията... защото, грубо казано като умножаваме двата члена с някакви коефициенти по модул по-малки от единица ще получаваме нещо по малко от това, което имаме.

Сега по-строго: използвайте горното представяне, за да докажете, че:
[tex]|\sin x \sin 2x |+ |\cos x \cos 2x| \leq 1[/tex]
Равенството се достига, когата [tex]|\cos x| = 1[/tex] или [tex]|\cos 3 x|=1[/tex].

Връщаме се напървоначалното дадено у-ние. Имаме:
[tex]|\sin x \sin 2x \sin 3x+ \cos x \cos 2x \cos 3x| \leq |\sin x \sin 2x | |\sin 3x| +| \cos x \cos 2x | |\cos 3x|[/tex]
[tex]\leq |\sin x \sin 2x | + | \cos x \cos 2x | \leq 1[/tex]
Съобразете кога се достига равенство...

[GretaSun]

Здравейте, нуждая се от помощ за една задача, тъй като отсъствах от училище доста време и искам да я разбера.Благодаря ви!
sinα-sinβ=m , cosα+cosβ=n Трябва да се намери: tg(α-β)=? Госпожата е казал,че може би се решава чрез система.

[Knowledge Greedy]

Даа, от жълтия сборник по геометрия – автори Коста Коларов, Христо Лесов, П. Арнаудов, Величко Михайлов, У. Баталска, 2-ро издание на ДИ "Народна просвета", София 1989 год.
Задача 27 на стр. 142, група В.
sinα-sinβ=m , cosα+cosβ=n. Трябва да се намери: tg(α-β)=?

Идеята със система не е лоша, но човек трябва да е виртуоз в сметките.
Ако атакуваме с формулите имаме повече шанс за бърз резултат.
[tex]sin\alpha -sin\beta =m[/tex]
[tex]2sin{\frac{\alpha-\beta }{2 }}cos{\frac{\alpha+\beta }{2 }} =m[/tex]
[tex]cos\alpha +cos\beta =n[/tex]
[tex]2cos{\frac{\alpha+\beta }{2 }}cos{\frac{\alpha-\beta }{2 }} =n[/tex]
Разделяме почленно двете формули за представяне във вид на произведение и получаваме
[tex]\frac{\cancel {2}sin {\frac{\alpha-\beta }{2 }}\cancel{cos{\frac{\alpha+\beta }{2 }}} }{\cancel{2cos{\frac{\alpha+\beta}{2 }}}cos{\frac{\alpha-\beta }{2 }} }=\frac{m}{n }[/tex] , като съкратим остава [tex]tg {\frac{\alpha-\beta }{2 }}=\frac{m}{n }.[/tex].
Сега прилагаме формулата [tex]tgx=\frac{2tg\frac{x}{2 } }{1-tg^2\frac{x}{2 } }[/tex]
и намираме отговора [tex]tg(\alpha-\beta)= \frac{2mn}{n^2-m^2 }.[/tex]