Показателно уравнение

[inveidar]

Намерете всички двойки (x,y) от реални числа, за които

[tex]16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1[/tex]

[math10.com]

Лесничка идва задачата , но става


Нека [tex]4^{x^2+y}=u ; =>16^{x^2+y}=u^2[/tex]
и нека[tex]4^{y^2+x}=v ; =>16^{y^2+x}=v^2[/tex]
следва [tex]u^2+v^2=1[/tex]

[tex]\frac{u^2+v^2}{2}\ge u.v[/tex] ,от където [tex]1\ge 2.4^{x^2+y}.4^{y^2+x}[/tex] (Неравенство средно аритметично, средно геометрично вариант за 7-ми клас)

[tex]1\ge 2.4^{x^2+y+y^2+x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]1\ge 2.\frac{4^{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}}{4^{\frac{1}{2}}}[/tex]

[tex]1\ge \cancel{2}.\frac{4^{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}}{\cancel{2}}[/tex]

[tex]1\ge 4^{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}[/tex]

[tex](x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2\ge 0[/tex] , за всяко [tex]x,y \in R[/tex]

следователно [tex]4^{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}\ge 1[/tex] , за всяко [tex]x,y \in R[/tex]

следователно [tex]4^{(x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2}= 1[/tex]

следователно [tex](x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=0[/tex]

от където [tex]x=-\frac{1}{2} ; y=-\frac{1}{2}[/tex]

[inveidar]

Лесничка - за вас. Иначе задачката е доста приятна за мен и е давана на областен(при тях регионален) кръг на Индийската национална олимпиада по математика, 2011г. Първата крачка от общо три за оформяне на отбора на Индия за МОМ. Участват ученици от 9-ти до 12-ти клас, а може да бъдат поканени и изявени осмокласници.