Задача за полином

[addicted]

Докажете, че за всяко [tex]k=1,2, ...[/tex] съществува полином [tex]P_k(x)[/tex] от [tex]k+1[/tex] -ва степен такъв, че [tex]1^k+ 2^k + 3^k+ ... + n^k=P_k(n)[/tex] за всяко естествено n.
Ще се радвам, ако дадете решение.

[pal702004]

Ами съществува:
[tex]\\1^0+2^0+\cdots n^0=n\\
1^1+2^1+\cdots n^1=\frac{n(n+1)}{2}\\
1^2+2^2+\cdots n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Хубава статия (на руски) по темата с теореми и доказателства, тук
http://kvant.mccme.ru/1973/05/summy_odinakovyh_stepenej_natu.htm

[drago]

Първо малко анализ. Да фиксираме [tex]k[/tex] и да допуснем, че съществува такъв полином [tex]P(x)[/tex] от степен [tex]k+1[/tex], така че: [tex]\sum_{j=1}^{n} j^k = P(n)[/tex].
Тогава [tex]P(n)-P(n-1)=n^k , n=2,3,\ldots[/tex] , което означава, че:
(1) [tex]\,\,\,\, \, \forall x\in \mathbb{R}\,:\, P(x) - P(x-1) = x^k ; \,\, P(1)=1[/tex]
Oбратно, ако горните 2 условия са изпълненим за някакъв полином от степен [tex]k+1[/tex] , то той ще удовлетворява изискванията на задачата.
Такъв полином намираме по метода на неопределените коефициенти.
Нека [tex]P(x)= a_0 x^{k+1}+a_1 x^k + a_{k} x + a_{k+1}[/tex]:
Остава да разпишем (1) , да започнем да приравняваме последователно коефициентите пред [tex]x^k, x^{k-1},\ldots[/tex] и видим как последователно се намират [tex]a_0,a_1,\ldots, a_k[/tex]. Последният коефициент: [tex]a_{k+1}[/tex] се намира от условието [tex]P(1)=1[/tex].

[pal702004]

Последният коефициент: [tex]a_{k+1}[/tex] се намира от условието [tex]P(1)=1[/tex].

Всъщност условието спокойно може да се замени с [tex]P(0)=0[/tex], откъдето свободният член е 0 и работим с един коефициент по-малко. Като цяло е вярно, но му липсва строгост, по-точно без по-сериозни сметки необходимата строгост няма да се постигне. Че коефициентите се определят последователно и еднозначно, че няма да се стигне до противоречие и т.н

[drago]

Да, трябва малко сметки, за да се убедим, че всичко е ОК.
И така, имаме една система от [tex]k+1[/tex] линейни уравнения с [tex]k+1[/tex] неизвестни: [tex]a_{k+1},a_k,\ldots, a_1[/tex]. Трябва да докажем, че тя има решение (то ще е единствено).
Затова писах, че трябва да разпишем примерно коефициентите пред [tex]x^k, x^{k-1}[/tex] , за да ни стане ясно каква е хавата.
Матрицата на тази система е триъгълна, с нули над главния диагонал. За да докжем, че има (единствено )решение е достатъчно да сметнем само елементите по главния и диагонал- другите не ни трябват. А те се смятат лесно и са: [tex]-(k+1),-k,\ldots, -1[/tex]. Тъй като никой от тях не е нула, тогава детерминантата на тази матрица не е нулева и системата има единствено решение.

Относно статията в Квант: Полезна е, като факти, но я помисли следното: Да кажем някой ученик я прочете и разбере. След време на някое състезание му дават същата тази задача. Каква е идеята, която му е останала в главата. Ими това, че има някаква рекурентна формула, която се доказва по индукция. Мотивация, как точно може да се изведе тази рекурентна формула, в статията няма. И сега, за да приложем индукцията трябва да помним формулата(аз поне няма да я запомня със сигурност) или да опитаме някак (емпирично или друго) да налучкваме.