Сума

[addicted]

Да се намери сумата : [tex]\sum_{k=0}^{n } (-1)^k (C_n^k)^2[/tex]

[Knowledge Greedy]

Развитието на бинома [tex](1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^kx^{k}}[/tex]
подсказва да използваме и [tex](x-1)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{C_{n}^kx^{n-k}}.[/tex]
Като умножим двата бинома получаваме възможност да се появят квадратите на биномните коефициенти, при това алтернативно сменящи знака си в сумирането.
[tex](1+x)^n(x-1)^n=(\sum_{k=0}^{n}{C_{n}^kx^{k}})(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{C_{n}^kx^{n-k}}).[/tex]
Коефициентите [tex](-1)^k({C_{n}^k})^2[/tex] се получават навсякъде, където има произведение
на едночлен съдържащ [tex]x^{k}[/tex] и едночлен на [tex]x^{n-k},[/tex] при това те не могат да се получат от други двойки едночлени, т.е. винаги произведението им ще е едночлен на [tex]x^{n}.[/tex]Това означава, че търсената сума ще е равна на стойността на коефициента пред [tex]x^{n},[/tex] който коефициент с отчетлива лекота ще изчислим, обръщайки поглед към лявата страна на тъждественото равенство. А именно [tex](1+x)^n(x-1)^n.[/tex]
И понеже [tex](1+x)^n(x-1)^n=(x^2-1)^n[/tex] има пред нечетните степени очевидно коефициент нула,
този факт ни кара да се вгледаме в четността на [tex]n.[/tex] При [tex]n=2m+1[/tex] очевидно [tex]\sum_{k=0}^{n }(-1)^k({C_{n}^k})^2=0.[/tex]
При [tex]n=2m[/tex] отново няма нечетни степени, но едночлените съдържащи[tex]x^{\frac{n}{2}}[/tex] съществуват и следователно
[tex](x^2-1)^{2m}=...+(-1)^{m}{C_{2m}^{m}x^{m +}}...,[/tex] откъдето
[tex]\sum_{k=0}^{2m }(-1)^k({C_{2m}^k})^2=C_{2m}^{m }.[/tex]