Инекция

[martin123456]

Нека [tex]f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}[/tex], [tex]f(n)=n^{\frac{\tau(n)}{2}[/tex], където [tex]\tau(n)[/tex] е броят на делителите на [tex]n[/tex]. Покажете че [tex]f[/tex] е инекция в [tex]\mathbb{N}[/tex].

[martin.nikolov]

Нека [tex]n[/tex] и [tex]m[/tex] са такива, че

[tex]n^{\frac{\tau(n)}2}=m^{\frac{\tau(m)}2}[/tex]

Кето разбира се е същото като

[tex]n^{\tau(n)}=m^{\tau(m)}[/tex]

От тук следва, че [tex]n[/tex] и [tex]m[/tex] имат еднакви прости делители. Нека [tex]n=p_1^{a_1}\dots p_r^{a_r}[/tex] и [tex]m=p_1^{b_1}\dots p_r^{b_r}[/tex]. Ако [tex]\tau(n)=\tau(m)[/tex] от горното равенство следва, че [tex]n=m[/tex]. Ако са различни, нека [tex]\tau(n)>\tau(m)[/tex], другия случай е аналогичен. Сравнявайки степените на простите числа в същото равенство следва, че [tex]a_i\tau(n)=b_i\tau(m)[/tex]. От където [tex]a_i<b_i[/tex]. От друга страна, както е добре известно или лесно се съобразява, [tex]\tau(n)=\prod_{i=1}^r(a_i+1)[/tex] и [tex]\tau(m)=\prod_{i=1}^r(b_i+1)[/tex]. От което следва, че [tex]\tau(n)<\tau(m)[/tex]. Противоречи на допускането, следователно имаме равенство.

[martin123456]

да,
междудругото виждам че си нов. видял ли и че в момента има олимпиада за 9-12 и нагоре? и всеки може да участва.

[Станислав]

Точно martin.nikolov да участва в олимпиада. Е, тва беше вица на сезона

[martin123456]

защо

[martin123456]

а ти ще участваш ли

[martin.nikolov]

защо

Не съм 10-12 клас. Не съм и съвсем нов. Нов съм в новия форум, в стария писах преди време. Предполагам, че той смята, че не бих участвал заради някои мои изказвания относно олимпиадите. Но е останал с погрешното впечетление. Задачите и решаването на задачите е хубаво нещо, отрицателно съм настроен към състезателния характер на олимпиадите. Разбира се олимпиадата тук във форума е от съвсем друг тип и изглежда като добра идея. Както и да е това е друга тема и пиша го само за разяснение, не бих изкал тази темата, която е за задачата да се отклони в друга посока.