Неравенство за триъгълник

[SV.SV]

Здравейте
Готвя се за олимпиадата по мат, през февруари, но ми се опъва следната задача.

Да се докаже, че за всеки триъгълник е изпълнено

[tex]a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3} S_\Delta[/tex] и

[tex]a^2+b^2+c^2\ge 36r^2[/tex]

Трябва ми просто насока.

[naitsirk]

[tex]a^2+b^2+c^2=4S(cotg\alpha +cotg\beta +cotg\gamma )[/tex], т.е. трябва да докажем, че
[tex]cotg\alpha +cotg\beta +cotg\gamma \ge \sqrt{3}[/tex], което на пръв поглед може да стане с Йенсен.

[SV.SV]

Благодаря ти, но това неравенство на Йенсен нищо не ми говори. Аз харесам математиката, уча в немската гимназия, с профил математика, но все пак не толкова задълбочено.. Би ли казал, какво гласи?

[ganka simeonova]

Честно да си призная и аз не мога да запомня нер. на Йенсен, а и не ме бива много в тези задачи, но ще ти предложа нещо за 1)
Нека означим [tex]a=y+z; b=z+x; c=x+y[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=(y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2=2[x(x+y+z)+(y^2+yz+z^2)]\ge[/tex]
[tex]4\sqrt{x(x+y+z)(y^2+yz+y^2)}[/tex][tex]\ge 4\sqrt{3xyz(x+y+z)} =4\sqrt{3} S[/tex]

[SV.SV]

Ооо, това е неравенството СА- СГ и x, y, z са доп. отсечки. Как не се сетих Благодаря. И втората я реших.

[naitsirk]

ако [tex]f(x)[/tex] е диференцируема и изпъкнала вярно е неравенството: [tex]a_{1}f(x_1)+a_{2}f(x_2)+...+a_{n}f(x_n)\ge f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n } )[/tex], където [tex]a_1+a_2+...+a_n=1[/tex]. При вдлъбната функция посоката на неравенството се обръща.
В нашия слушай за остроъгълен триъгълник всички ъгли са по-малки от 90° и котангенса е изпънала ф-я в този интервал => [tex]\frac{1}{3 }cotg\alpha +\frac{1}{3 }cotg\beta + \frac{1}{3 }cotg\gamma \ge cotg(\frac{\alpha +\beta +\gamma }{= } )=cotg60^\circ =\frac{1}{\sqrt{3} }[/tex] или [tex]cotg\alpha +cotg\beta + cotg\gamma\ge \sqrt{3}[/tex]. Лошото е, че трябва да се разгледа случея на тъпоъгълен триъгълник, където 2 от ъглите са остри, т.е. за тях прилагаш неравеството и нататък ще се оправиш