Неравенство между разстояния между забележителни точки

[Saposto_MM]

В триъгълник ABC O е център на описаната окръжност, I на вписаната, а G е медицентър. Да се докаже, че [tex]OG\le OI[/tex].

[dim]

От една страна от формулата на Ойлер следва: [tex]IO=\sqrt{R^2-2rR}[/tex], от друга страна имаме [tex]GO=\sqrt{R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}}[/tex] => [tex]IO\ge GO[/tex] <=> [tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\ge 2Rr=2.\frac{abc}{4S}.\frac{2S}{a+b+c}[/tex] <=> [tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\ge \frac{abc}{a+b+c}[/tex], което е леко.

ПП. За да съм по-точен ще го докажа. Следва от [tex]CK\ge CA[/tex]. [tex]\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3}[/tex]<=>[tex]\frac{1}{3}.(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}) \ge \frac{1}{3}.\frac{(a+b+c)^2}{9}\ge \frac{abc}{a+b+c}[/tex].

[tex]\frac{1}{3}.\frac{(a+b+c)^2}{9}\ge \frac{abc}{a+b+c}[/tex]<=>[tex](a+b+c)^3\ge 27abc[/tex], което следва от [tex]AM\ge GM[/tex].

Значи имаме: [tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\ge \frac{abc}{a+b+c}[/tex], което се търсеше.