Разделете с минимален брой прави линии тъпоъгълен триъгълник

[ins-]

Да се раздели с минимален брой прави линии тъпоъгълен триъгълник на остроъгълни триъгълници.

[ins-]

Нека за да е по-лесна задачата да премахнем условието за минималност на линиите.
Задачата е от известен сборник на М. Гарднър.

[dim]

Нещо ми се струва невъзможно това, освен може би ако не става въпрос за отсечки, защото когато права пресича страна и не е [tex]\bot[/tex] на нея, то винаги се получава тъп ъгъл, който дори да "изострим", поради предната причина ще се получи пак тъп и така до безкрайност...

[mkmarinov]

Ще се получи тъп освен ако не попаднем във вече направена точка, при което изправеният ъгъл ще се раздели на три остри .

[ins-]

Схемата е нещо подобно на прикачената картинка.

[Baronov]

Схемата е нещо подобно на прикачената картинка.

Правиш ли разлика между права линия и отсечка?

[dim]

Както казах е невъзможно ако са прави. В този смисъл Баронов е прав, че условието е подвеждащо, защото не става ясно дали се касае за отсечка или права. Права линия ? отсечка. Иначе с отсечки очевидно може А решението изпълнява ли условието за минималност?

[ins-]

Задачата е леко открита ... с условието за минималност наистина става нелека, затова го премахнах. Ще се наложи да видя какво пише в "дебелата книга".

[ganka simeonova]

Задачата е леко открита ... с условието за минималност наистина става нелека, затова го премахнах. Ще се наложи да видя какво пише в "дебелата книга".

???

[ins-]

Задачата е от известен сборник на М. Гарднър. Сборника е "дебелата книга". Аз много обичам задачи, на които не знам решението ... иначе такива, на които решението е известно - всеки може да решава

[ganka simeonova]

Задачата е от известен сборник на М. Гарднър. Сборника е "дебелата книга". Аз много обичам задачи, на които не знам решението ... иначе такива, на които решението е известно - всеки може да решава

И ти тогава, как я реши?

[Станислав]

Задачата е от известен сборник на М. Гарднър. Сборника е "дебелата книга". Аз много обичам задачи, на които не знам решението ... иначе такива, на които решението е известно - всеки може да решава

А такива със сгрешено условие обичаш ли?

[Baronov]

Да допуснем, че задачата е за отсечки, а не за прави!
Има конфигурация с 11 отсечки. Взимаме 2 точки вътре, които съединяваме с отсечка, която е успоредна на страната срещу тъпия ъгъл. Освен това съединяваме тези 2 точки с 3-те върха на триъгълника. Последната точка е върху най-дългата страна и е свързана с 2-те вътрешни точки (освен с върховете на изходния триъгълник). Така получаваме 11 отсечки.

Нека имаме конфигурация, която изпълнява условието. Върховете на остроъгълните триъгълници на които е разделен изходният триъгълник ще наричаме точки. Нека х и у е броят на точките съответно вътре в триъгълника и по контура (изкючваме върховете на изходния триъгълник). Тогава не е трудно да се види, че броят на отсечките (ще го означаваме с а) е равен на 3 + 3х + 3у. Това следва от формулата на Ойлер за планарни графи и елементарно броене на ъглите. Тази формула не използва факта, че триъгълниците са остроъгълни.

От друга страна като се вземе предвид, че има поне една отсечка излизаща от върха на тъпия ъгъл, от всяка вътрешна точка излизат поне 5 отсечки, а от всяка контурна поне 4 => [tex]2a \geq 5x + 4y + 7[/tex] от тук и горната формула следва, че [tex]x \geq 1[/tex] (това сигурно може да се види и по по-лесен начин).

Нека х=1. Ако у=2, то вътрешната точка е свързана с трите върха на триъгълника и с 2-те контурни точки (защото е свързана с поне 5 точки). Лесно се вижда, че такава конфигурация не може да съдържа само остроъгълни триъгълници. Т.е. у е поне 3 и от горната формула следва, че броят на отсечките е поне 3 + 3 + 6 = 12.

Нека х=2, да допуснем, че у=0. Тогава всяка от 2-те вътрешни точки е свързана най-много с 4 други (просто защото няма други точки). Противоречие. Т.е. у е поне 1 и получаваме поне 3 + 6 + 2 = 11 отсечки.

Ако х е поне 3 имаме директно поне 3 + 9 + у > 11 отсечки.

ПП. Сега се усетих, че горното разсъждение е в сила само ако няма връх на триъгълник, който да лежи на страна на друг триъгълник.

[ins-]

Задачата е от известен сборник на М. Гарднър. Сборника е "дебелата книга". Аз много обичам задачи, на които не знам решението ... иначе такива, на които решението е известно - всеки може да решава

А такива със сгрешено условие обичаш ли?

Защо не?