Множество

[Saposto_MM]

Нека [tex]X[/tex] е непразно множество на [tex]\mathbb{N}[/tex]. Известно е, че за всички [tex]x\in X[/tex], [tex]4x\in X[/tex] и [tex]\left\lfloor\sqrt{x}\right\rfloor\in X[/tex]. Да се докаже, че [tex]X\equiv\mathbb{N}[/tex].

[mkmarinov]

Нека [tex]x_0 \in X[/tex]. Използвайки многократно: [tex][\sqrt{x_0}] \in X => [\sqrt{[\sqrt{[...\sqrt{x_0}]}]}] \in X[/tex], което клони към 1. Следва, че [tex]1 \in X[/tex].
Очевидно всички степени на двойката принадлежат на Х.
[tex]2^{n} \in X => [\sqrt[2^k]{2^{n}}] \in X => [2^{\frac{n}{2^k}}]=t \in X[/tex] за всички естествени n и k.
[tex]2^{\frac{n}{2^k}} \in [t; t+1)[/tex] => [tex]\frac{n}{2^k} \in [\log_2t; log_2(t+1))[/tex] =>
[tex]n \in [2^k.\log_2t; 2^k.\log_2(t+1))[/tex]; винаги може да се подбере достатъчно голямо k, че [tex]2^k(\log_2(t+1)-\log_2t) \ge 1[/tex] т.е. между двете винаги да има естествено число за всяко t.

(Използвал съм по-нагоре,че [tex][\sqrt{[x]}]=[\sqrt{x}][/tex])

[Станислав]

(Използвал съм по-нагоре,че [tex]\sqrt{[x]}=[\sqrt{x}][/tex])

Без да гледам самото решение. Взимаш си произволно цяло x, което не ти е точен квадрат. Тогава лявата страна ти е ирационална, а дясната цяла...

[mkmarinov]

Имах предвид, че [tex][\sqrt{[x]}]=[\sqrt{x}][/tex].
Не става само с фулене, требва и акъл...

[Станислав]

Не става само с фулене, требва и акъл...

Тва няква обида по мой адрес ли трябваше да е?

[mkmarinov]

Ако искаш го приемай като обида. Просто показваш, че не мислиш, когато "поправяш".