Ограничена редица със свойство...

[drago]

Съществува ли ограничена редица [tex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/tex] от реални числа със свойството:

[tex]|x_n - x_m|\, \geq \,\frac{1}{|n-m|}\,,\, \forall n,m \in \mathbb{N}\,, n\neq m[/tex].

[pipi langstrump]

Ne moje, spored men.
Dokolkoto si spomnyam,ot vsyaka ogranichena redica moje da se nameri shodyashta podredica,t.e. gornoto uslovie tryabva da bude izpulneno za nyakava shodyashta redica,koeto e nevuzmojno,zaradi teoremata na koshi.

[drago]

Да, може да се избере сходяща подредица [tex]x_{n_j}[/tex] и тя да бъде монотонна. Проблемът е, че индексите [tex]n_j[/tex] може да са много раздалечени и [tex]\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{n_{j+1}-n_j}[/tex] да е сходящ, което не е противоречие.

[drago]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=551121