Ортоцентър

[inveidar]

za3.png (616.47 KiB) Прегледано 843 пъти

[Knowledge Greedy]

От синусова теорема за [tex]\Delta ACH[/tex]- един път и втори път за [tex]\Delta BCH[/tex], следва, че радиусите на окръжностите описани около тях са равни. Нека [tex]O_{1}[/tex] и [tex]O_{2}[/tex] са техните центрове - съответно. Явно
[tex]O_{1}O_{2}[/tex] е симетрала на [tex]CH[/tex]. Ако пък [tex]O[/tex] е центърът на описаната окръжност около [tex]\Delta ABC,[/tex] то всеки от четириъгълниците [tex]AOCO_{1}[/tex], [tex]O_{1}HO_{2}C[/tex], [tex]COBO_{2}[/tex] и [tex]O_{2}HAO[/tex] е ромб. Страната на всеки от тях е радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex]окръжност.
Гледаме внимателно последния от тези ромбове. [tex]OO_{2}[/tex] е симетрала на [tex]BC[/tex] - значи и нейната успоредна - [tex]AH[/tex] е [tex]AH\bot BC[/tex].

[inveidar]

Мнението е изтрито.

[inveidar]

то всеки от четириъгълниците [tex]AOCO_{1}[/tex], [tex]O_{1}HO_{2}C[/tex], [tex]COBO_{2}[/tex] и [tex]O_{2}HAO[/tex] е ромб. Страната на всеки от тях е радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex]окръжност.

Я обясни защо описаната около АВС окръжност има равен радиус с окръжностите с център О1 и О2 ???
Това е така, ако Н е ортоцентър. Но точно това трябва да се докаже.

[Knowledge Greedy]

Започнах сутринта да отговарям и установих, че наистина съм допуснал грешка. Първо, последният успоредник [tex]O_{2}HAO[/tex] не е ромб.

[Knowledge Greedy]

От синусова теорема за[tex]\Delta ACH[/tex]- един път и втори път за [tex]\Delta BCH[/tex], следва, че радиусите на окръжностите описани около тях са равни. Нека [tex]O_{1}[/tex] и [tex]O_{2}[/tex] са техните центрове - съответно. Явно
[tex]O_{1}O_{2}[/tex] е симетрала на CH. Тогава [tex]O_{1}HO_{2}[/tex] е ромб, а [tex]ABO_{2}O_{1}[/tex]е успоредник.
Построяваме през [tex]H[/tex] успоредна на [tex]O_{2}B[/tex] и през [tex]B[/tex] успоредна на [tex]HO_{2}[/tex].
Нека да означим пресечната точка на тези две прави с [tex]O`[/tex]. Появява се още един ромб [tex]HO`BO_{2}[/tex] и още един успоредник [tex]O`BCO_{1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] равенство на ъгли [tex]O`BO_{2}[/tex] и [tex]AO_{1}C[/tex] . След това доказваме еднаквост на триъгълниците [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta O_{1}O_{2}O`[/tex].

Трябва малко по-подробно да се опише , особено с ъглите. Не е довършена

[monika_at]

Опасявам се, че нищо не ми е ясно от обяснението ти.

[monika_at]

ort_inv.png (28.67 KiB) Прегледано 751 пъти

Нека дам моя принос към задачата, дано е верен. Следваме означенията.
От равенството на ъглите в условието=>около [tex]ABNM[/tex] може да се опише окръжност=>[tex]\angle MNC=\angle BAC=\alpha ; \angle NMC=\angle ABC=\beta[/tex]
Допускаме, че т.Н не е ортоцентър. Нека да спуснем от нея перпендикуляри към АС и ВС. Това са [tex]HQ; HF[/tex]
Кoгато от точка от височина спуснем перпендикуляри към другите две страни, полученият триъгълник, който се отсича [tex]\Delta QFC[/tex]е подобен на дадения[tex]\Delta ABC[/tex]. Доказва се лесно. Понеже [tex]APHQ, QHFC[/tex]са вписани=>[tex]QHC=\alpha =\angle QFC[/tex]=>[tex]QF||MN=>\frac{y}{ n} =\frac{x}{m }[/tex](1)
От подобните правоъгълни [tex]\Delta MQH; \Delta NFH[/tex](имат съответно равни ъгли)=>[tex]\frac{y}{n} =\frac{p}{ q}[/tex](2).
От (1) и (2)=>[tex]\frac{x}{ m} =\frac{p}{ q} ; \angle CQH=\angle CFH=90^\circ =>\Delta CQH; \Delta CFH[/tex] са подобни=>
[tex]\angle QCH=\angle NCH=>\angle A=\angle B=>AC=BC[/tex], което е противоречие с условието=>допускането, че Н не е ортоцентър не е вярно.

[kmitov]

Според менвсичките разсъждения по-горе са верни и когато АС=ВС. Къде е противоречието с условието?

[monika_at]

Според менвсичките разсъждения по-горе са верни и когато АС=ВС. Къде е противоречието с условието?

Ако АВС е равнобедрен и построим височината към основата, която е и ъглополовяща и всеки два такива ъгъла са са равни=>че всеки два такива триъгълника са даже еднакви. Тогава не можем да твърдим, че Н е ортоцентър.

[math10.com]

Ortocentar.png (39.37 KiB) Прегледано 675 пъти

Ето едно решение и от мен.Даже смея да твърдя че трябва да преместим задачата в раздела за 8-ми клас
Нека [tex]\angle BAC>\angle ABC[/tex].Нека [tex]F\in AB[/tex] е такава че[tex]AP=PF[/tex].
[tex]\Right \triangle APC,\triangle FPC[/tex] са еднакви по 1-ви признак [tex]\Right AC=CF , \angle ACP=\angle FCP[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Right \triangle AHC,\triangle FHC[/tex] са еднакви по 1-ви признак [tex]\Right \angle HAC=\angle HFC[/tex] като СЕЕТ
Но [tex]\angle HAC=\angle HBC[/tex] по условие [tex]\Right \angle HBC=\angle HFC[/tex]
Следователно около [tex]HFBC[/tex] може да се опише окръжност ([tex]CH[/tex] се вижда под еднакъв ъгъл от точките [tex]B[/tex] и [tex]F[/tex])
[tex]\Right \angle FBH=\angle FCH=\frac{1}{2}\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{HF}=\angle ACH=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]\Right \angle AMB=180^\circ -\alpha -90^\circ +\alpha =90^\circ[/tex]
Следователно [tex]H[/tex] е ортоцентър

[monika_at]

Яко:)

[inveidar]

Ми то тази задача съм я мислил за 8-ми клас, но не я включихме миналата година в състезанията, защото вписаните четириъгълници и ъгли се учат в края. Иначе моето решение е като на math10 . Дори си мисля, че няма друго, което да се отличава съществено от него и да се решава с материал за 8-ми клас. По този повод ще ви пусна още една лесна от този тип.