Симетрични точки

[inveidar]

Нека Т е вътрешна точка за остроъгълния триъгълник АВС. Q и Р са симетрични на Т съответно спрямо средите М и N на страните АВ и ВС . Ако Q и Р лежат на описаната около АВС окръжност и ъгъл АВТ е равен на 20 градуса, а ъгъл ТСВ е равен на 50 градуса, да се пресметнат ъглите на триъгълника АВС.

es6.png (313.87 KiB) Прегледано 1602 пъти

[math10.com]

Обзалагам се на 5 лева , че точка [tex]T[/tex] е ортоцентър. @inveidar само такива ги измисля напоследък
Шегата на страна.Готина задачка отново за 8-ми клас (в тази тема само заради късното изучаване на вписани фигури в окръжност).Мисля, че може малко да се засили трудността при същата тематика.Решение ще пусна по-късно за да се пробват повече хора.

[loving_math]

70,20,70? Ако да, Т наистина е ортоцентър.

[kmitov]

Тука чакам Гана да даде едно хуууууууууууууууууубаво решение!

[monika_at]

Ще ползвам чудесния чертеж на Емо. От условието=>[tex]TBPC; TBQA[/tex]-успоредници=>
[tex]AQPC[/tex]-успоредник, вписан в окръжност=>правоъгълник. Тогава [tex]AP; CQ[/tex]-диаметри. Тогава:

[tex]\angle CBQ=90^\circ =>CB\bot QB=>CB\bot AT[/tex](1)

[tex]\angle ABP=90^\circ =>AB\bot PB=>AB\bot CT[/tex](2)

От (1) и (2)=>т. Т е ортоцентър.

[inveidar]

es61.png (330.8 KiB) Прегледано 1528 пъти

Ще ползвам чудесния чертеж на Емо. От условието=>[tex]TBPC; TBQA[/tex]-успоредници=>
[tex]AQPC[/tex]-успоредник, вписан в окръжност=>правоъгълник. Тогава [tex]AP; CQ[/tex]-диаметри. Тогава:

[tex]\angle CBQ=90^\circ =>CB\bot QB=>CB\bot AT[/tex](1)

[tex]\angle ABP=90^\circ =>AB\bot PB=>AB\bot CT[/tex](2)

От (1) и (2)=>т. Т е ортоцентър.