Уравнение

[math10.com]

Благодарим много на "inveidar" , за готината поредица от задачи с ортоцентър в триъгълника.Сега ще разнообразим малко темата с едно леко за решаване уравнение.Не за друго , а да не се обидят онези, които мразят геометрията и досега им беше скучно.Така че дерзайте.Ето и задачата:

Да се намерят всички реалните корени на уравнението:[tex](\frac{1}{3}x+1)^{2014}+(\frac{1}{3}x+1)^{2013}(x+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}x+1)^{2012}(x+\frac{1}{3})^2+..........+(\frac{1}{3}x+1)^2(x+\frac{1}{3})^{2012}+(\frac{1}{3}x+1)(x+\frac{1}{3})^{2013}+(x+\frac{1}{3})^{2014}=0[/tex]

[kmitov]

Очевидно [tex]x=-3, x=-1/3[/tex] и [tex]x=1[/tex] не са решения на това уравнение. Считаме, че x е различно от тези числа. Да умножим двете страни на уравнението с [tex](\frac{1}{3}x+1)-(x+\frac{1}{3}) \ne 0[/tex]. Получава се
[tex](\frac{1}{3}x+1)^{2015}-(x+\frac{1}{3})^{2015}=0[/tex] или [tex](\frac{1}{3}x+1)^{2015}=(x+\frac{1}{3})^{2015}[/tex] или
[tex](\frac{1}{3}x+1)=(x+\frac{1}{3})[/tex], което е вярно само при [tex]x=1[/tex]. Следователно, даденото уравнение няма реални корени.

[drago]

За да стане по-интересна задачата и поне малко да съответства на раздела, в който е постната, предлагам да се намерят всички (комплексни) корени на у-нието. Хем ще вкараме и малко геометрия.
Апропо, не познавам човек, който да обича математиката, а да мрази геометрията!?

[kmitov]

Нещо нема мераклии да търсят комплексните корени.