Интересна геометрична задача

[georgi111]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex]. Нека [tex]M,N[/tex] са средите на [tex]AC,BC[/tex] съответно и нека [tex]AN \cap BM = G[/tex]. Да се докаже, че ако [tex]GN + CM = GM + CN[/tex], то [tex]GN^2 + CM^2 = GM^2 + CN^2[/tex]. Вярно ли е обратното ? (Ако [tex]GN^2 + CM^2 = GM^2 + CN^2[/tex], то [tex]GN + CM = GM + CN[/tex])

[Knowledge Greedy]

Равенството [tex]GN^{2} + CM^{2} = GM^{2} + CN^{2}[/tex] е равносилно даденият триъгълник [tex]ABC[/tex] да е равнобедрен - за целта ползваме, че [tex]G[/tex] е медицентър и два пъти формула за дължината на медианата. Ето защо отговорът е: ДА, щом [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен, то в четириъгълника [tex]CMGN[/tex] може да се впише окръжност.

[georgi111]

Съгласен съм. Това е основната идея.