Втори кръг на НОМ, 2006г.

[mkmarinov]

Да се докаже, че за реални числа [tex]x,y,z,t \in [-1;1][/tex] важи:
[tex]t^2(xy+yz+zx)+2t(x+y+z)+3 \ge 0[/tex]

[b1ck0]

Ето тази задача ми се падна на олимпиадата .... не че я реших де ...
С нетърпение очаквам решение

П.С: Спомням си че търсих едни детерминанти ... преобразувах, преобразувах ... правих Виет ... и накрая се отказах ...

[mkmarinov]

Аз имам решение... Но не знам дали е вярно .
[tex]xy+yz+zx=u; x+y+z=v \in [-3;3][/tex]
[tex]u=\frac{v^2-(x^2+y^2+z^2)}{2} < \frac{v^2}{2}[/tex]
Сега го разглеждам като квадратна функция на t:
[tex]ut^2+2vt+3 \ge 0[/tex]
[tex]f(-1)=u-2v+3[/tex]. Разглеждам го като намаляваща функция на v. В най-голямата стойност (v=3) u=3 и е изпълнено равенство с нулата => f(-1)>0.
[tex]f(1)=u+2v+3[/tex]. В най-малката стойност на v=-3 u=3 и е изпълнено равенство с нулата.

Ако u<0 тези са достатъчни. Ако u>0 трябва върхът на параболата, ако е между -1 и 1 да е с неотрицателна ордината.
[tex]Ver_t=-\frac{v}{u} \in [-1;1][/tex]
[tex]f(Ver_t)=u.\frac{v^2}{u^2}-2\frac{v^2}{u}+3=-\frac{v^2}{u}+3=-v.\frac{v}{u}+3[/tex]
[tex]-v \in [-3;3], \frac{v}{u} \in [-1;1] => -v.\frac{v}{u} \in [-3;3][/tex] => [tex]-v.\frac{v}{u} +3 \ge 0[/tex]

---------
А някой знае ли къде мгоа да намеря авторовото решение?

[amnesiac]

ами
[tex]txty+ tytz+ txtz+2tx+2ty+2tz+3=[/tex]
[tex]txty+tytz+tztx+tx+ty+ty+tz+tz+tx+1+1+1=[/tex]
[tex](tx+1)(ty+1)+(ty+1)(tz+1)+(tz+1)(tx+1) \in[0;12 ][/tex]
но докато се сетя

дали тази година ще има рекурентна редица

[b1ck0]

Къде бил ключа от бараката ....