Областен кръг на Националната Олимпиада по Математика 2014

[ins-]

Видях, че днес се е провел областният кръг на олимпиадата по математика (намерих и линк с темите)
http://www.mon.bg/?go=page&pageId=16&subpageId=80
Някой да има решенията и информация кои са авторите на задачите?
Според мен, ще е интересно да се видят и решения, различни от официалните.

[math10.com]

Аз ще започна с темата за 7-ми клас:

Задача 1. Даден е трапец ABCD, в който сборът от ъглите, прилежащи на по-голямата основа AB, е равен на
[tex]120^\circ[/tex]. Да се намерят ъглите на трапеца, ако BC=2.AD

Задача 2. Да се намерят целите решения на уравнението:
[tex]10xy +16x +5y =2006.[/tex]


Задача 3. Нека [tex]A=3.2^{2013}[/tex]. Да се докаже, че съществува:
а) представяне на A в сума от последователни естествени числа (поне две);
б) единствено представяне на A в сума от последователни естествени числа
(поне две)

7.1.Решение:

7.1.png (17.78 KiB) Прегледано 2130 пъти

Нека [tex]CE||AD ; E\in AB \Right AECD[/tex] е успоредник [tex]\Right AD=CE ; \angle DAC=\angle CEB=\angle ECD=\alpha[/tex].
[tex]\Right \angle ABC=120^\circ -\alpha[/tex] по условие [tex]\Right \angle BCD=180^\circ -120^\circ +\alpha =60^\circ +\alpha \Right \angle BCE=60^\circ +\alpha -\alpha =60^\circ[/tex]
Нека [tex]M[/tex] е средата на [tex]BC \Right BM=CM=\frac{1}{2}BC=AD=CE[/tex]
[tex]\Right \triangle EMC[/tex] е равностранен (равнобедрен с ъгъл [tex]60^\circ[/tex])
[tex]\Right \angle BEM=\alpha - 60^\circ[/tex]
[tex]\Right EM=EC=BM \Right \triangle EBM[/tex] е равнобедрен [tex]\Right \angle EBM=\angle BEM[/tex]
[tex]\Right \alpha - 60^\circ=120^\circ -\alpha \Right \alpha =90^\circ[/tex]
[tex]\Right \angle BAC=\angle ADC=90^\circ ;\angle ABC=30^\circ ;\angle BCD=150^\circ[/tex]

7.2.Решение:
[tex]10xy +16x +5y =2006[/tex]
[tex]10xy +16x +5y+8 =2006+8[/tex]
[tex]5y(2x+1)+8(2x+1)=2014[/tex]
[tex](5y+8)(2x+1)=2.19.53[/tex] дясната страна на равенството е четна , следователно и лявата трябва да е четна
[tex]2x+1[/tex] е нечетно за всяко [tex]x\in Z[/tex] и [tex]5y+8\ne 2[/tex] , за [tex]y\in Z[/tex]
Следователно имаме 4 случая [tex]5y+8=\pm 38 ; 2x+1=\pm 53[/tex] или [tex]5y+8=\pm 106 ; 2x+1=\pm 19[/tex]
Така получаваме решението [tex]x=26 ; y=6[/tex] ,а в останалите 3 случая няма решение в цели числа

7.3. Решение:
a)Избираме 3 последователни естествени числа.Нека да са [tex]n-1,n, n+1[/tex].
Събираме числата и получаваме:[tex]A=3.n \Right n=2^{2013}[/tex] с което задачата е решена.
б)Нека се опитаме да представим [tex]A=3.2^{2013}[/tex] , като сума на [tex]m[/tex] последователни числа.Нека [tex]m=2k+1[/tex] е не четно.Избираме числата [tex]n-k,n-k+1,n-k+2,......,n+k-2,n+k-1,n+k[/tex].Събираме ги и получаваме:[tex]A=n-k+n-k+1+n-k+2+......+n+k-2+n+k-1+n+k=(2k+1)n=3.2^{2013}[/tex]
[tex]2k+1[/tex] е не четно за всяко [tex]k\in N \Right 2k+1=3 \Right k=1 \Right n=2^{2013}[/tex] е единствено възможно решение
Нека [tex]m=2k , k\in N[/tex] е четно.Избираме числата [tex]n-k+1,n-k+2,......,n+k-2,n+k-1,n+k[/tex], където [tex]n>k-1[/tex].Събираме ги и получаваме:[tex]A=n-k+1+n-k+2+......+n+k-2+n+k-1+n+k=2kn+k=k(2n+1)[/tex] се дели на 3 и на 2.
[tex]2n+1[/tex] е не четно за всяко [tex]n\in N \Right 2n+1=3 \Right n=1[/tex] ,но [tex]n>k-1 \Right k<2 \Right k=1 \Right A=3[/tex],което е противоречие Следователно единственото представяне на [tex]A=3.2^{2013}[/tex] , като сума от последователни естествени числа е :[tex]A=(2^{2013}-1)+(2^{2013})+(2^{2013}+1)[/tex]

[grav]

Каква е паролата за файловете?

[math10.com]

Няма парола

[grav]

Иска парола за да отворя файла!

[monika_at]

2013_14z_math_all.zip

(1.49 MiB) 244 пъти

Граф, специално за теб:)

[grav]

Благодаря, но при мен иска парола. Между другото е Грав.

[monika_at]

Явно само при теб се иска парола, граВ, не знам защо.

[drago]

12.4
Ако a,b са два свързани града(върхове на съответния граф), да означим с [tex]v(a),v(b),e(a,b)[/tex] съответно броя на жителите на [tex]a,b[/tex] и числото записано на реброто [tex](a,b)[/tex].
Лесно се проверява, че:
[tex]e(a,b) \ge \frac{2}{3}(v(a)+v(b))[/tex] ,
като равенството се достига само когато [tex]v(a)= 2 v(b)[/tex] или [tex]v(b)= 2 v(a)[/tex]. Всъщност това е ключовото наблюдение. Ако някъде има строго неравенство сборът на всички [tex]e(a,b)[/tex] ще е по-малък от удвоения брой на жителите, което означава, че за всеки два свързани града, броя на жителите на единия е два пъти по-голям от броя на жителите на другия.
От това следва, че в графа не може да има цикъл с нечетен брой ребра, което означава, че графът е двуделен (bipartite).

[drago]

Да коригирам един лапсус в горния пост.

12.4
... Ако някъде има строго неравенство сборът на всички [tex]e(a,b)[/tex] ще е по-малък от удвоения брой на жителите, ...

Това трябва да се чете:
"... Ако някъде има строго неравенство сборът на всички [tex]e(a,b)[/tex] ще е по-голям от удвоения брой на жителите, ..."

10.4
Тази ми се вижда твърде лесна за областен кръг, във всеки случай е по-лесна от горната.
а) НЕ; Да допуснем, че има такова множество. Тогава всяка точка от [tex]S[/tex] лежи на някоя права и някоя окръжност. Значи [tex]S[/tex] е подмножество на пресечните точки на правите с окръжностите. Тъй като всяка права и всяка окр. се пресичат най-много във 2 точки, то пресечените им точки са най-много [tex]2\cdot 15\cdot 67=2010[/tex] (тук изполваме калкулатор ), което е противоречие с |S|=2014.

б) ДА. Построява се пример.

[Twinkie]

Zdraveite, uchenik sam ot 7 klas na SMG bqh na olimpiadata-vtori krag, zadachite ne bqha mnogo trudni, no iskam da popravq reshenieto mu na vtora zadacha. V matematikata ima i otricatelni chisla => qvno ne si go zabelqzal, no sa vazmojni i (x = -2; y = -504) poluchvat se, kakto 26 i 6!!! Na 3 zadacha ima mnogo po-prosto reshenie na b podtochka kato se izpolzva (n(n+1))/2.

[math10.com]

Zdraveite, uchenik sam ot 7 klas na SMG bqh na olimpiadata-vtori krag, zadachite ne bqha mnogo trudni, no iskam da popravq reshenieto mu na vtora zadacha. V matematikata ima i otricatelni chisla => qvno ne si go zabelqzal, no sa vazmojni i (x = -2; y = -504) poluchvat se, kakto 26 i 6!!! Na 3 zadacha ima mnogo po-prosto reshenie na b podtochka kato se izpolzva (n(n+1))/2.

Приемам забележката за 2-ра задача .Седмокласник със самочувствие и остър език , типично за СМГ.
Относно 3-та задача мисля че грешиш.Формулата [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] е сумата на първите [tex]n[/tex] естествени числа.В условието е казано сума от последователни естествени числа.Това не означава че трябва да са от 1 до [tex]n[/tex] , така че все едно ще трябва да извадиш първите [tex]k[/tex] числа и ще се получи нещо от вида [tex]\frac{n(n+1)}{2}-\frac{k(k+1)}{2}=\frac{(n-k)(n+k+1)}{2}[/tex], а тук изследването си седи.
Напиши по-краткото според теб решение.Нека участниците във форума видят и други разнообразни решения.Успех на бъдещите състезания и не забравяй, че първо представяш София, после СМГ , след това директора , учителя по математика и най-накрая себе си .
И още една забележка.Как се сети че [tex]1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] , в СМГ сте го учили но в другите училища....

[drago]

...и не забравяй, че първо представяш София, после СМГ , след това директора , учителя по математика и най-накрая себе си...

Искрен ли си или просто за ефекта и лаф да става...?!

[ins-]

Прос(т) въпрос Някой има ли брошурата с официалните решения на задачите?

[inveidar]

Има.

[ins-]

Би било да я сподели да видят хората нещо идейно тогава.

[inveidar]

Ми би било и я е споделил, но на друго място. http://estoyanov.net/?p=6015

[ins-]

И много добре е направил. Благодаря!