Задача за 11/12 клас геометрия

[valka7a]

Някой би ли ми подсказал как да реша тази задача!
Диагоналите на трапец с основи а и b(a>b) и височина h са взаимно перпендикулярни, а правите, определени от бедрата сключват ъгъл алфа, да се докаже , че : 1върху h=(1върху а - 1 върху b).cotgA

[Knowledge Greedy]

Това в края на поста би трябвало да е [tex]cotg\alpha[/tex], нали?

[Knowledge Greedy]

Нещо отново не е наред
При [tex]a>b[/tex] следва[tex]\frac{1}{a }< \frac{1}{b }[/tex], значи [tex]cotg\alpha<0[/tex] и оттук [tex]\alpha >\frac{\pi }{2}[/tex].
Няма как да Ви помогна, не мога да си представя геометричната конфигурация

[valka7a]

Да това беше cotgαα! Прощавай, имам грешка ! Би трябвало да е 1 върху b-1 върху а! Наистина така е невъзможно!

[monika_at]

Много симпатична задачка. Току що я реших, но сега нямам време да я напиша. По-късно или утре сутрин ще дам решение, ако някой не го направи.

[kmitov]

Чакаме решение!

[monika_at]

trapec.png (28.79 KiB) Прегледано 477 пъти

Задачата е многостъпкова. Първо ще изведем формула, която дава връзка между диагоналите, бедрата и основите на трапец. За целта построяваме две отсечки, съответно успоредни и равни на бедро и диагонал.
[tex]DP||BC, DP=BC=c; CF||DB; CF=DB=d_2=>AF=a+b; AP=a-b; \angle ADP=\alpha ;\angle ACF=90^\circ ;DM=CN=h[/tex]

1)Прилагаме кос. т-ма за [tex]\Delta ADB=>d_2^2=a^2+d^2-2adcos\angle A[/tex]От [tex]\Delta AMD=>cos\angle A=\frac{AM}{ d} =>d_2^2=a^2+d^2-2a.AM[/tex] Аналогично от кос. т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] и от [tex]\Delta CNB=>[/tex][tex]d_1^2=a^2+c^2-2a.BN[/tex] Събираме двете равенства:
[tex]d_1^2+d_2^2=2a^2+c^2+d^2-2a(AM+BN); AM+BN=a-b=>d_1^2+d_2^2=c^2+d^2+2ab[/tex] (*)

2) Прилагаме питагорова теорема за [tex]\Delta ACF=>d_1^2+d_2^2=a^2+2ab+b^2[/tex] (**)
От (*) и (**) извеждаме зависимост за трапец с взаимно перпендикулярни диагонали, т.е. [tex]a^2+b^2=c^2+d^2[/tex]

3)Означаваме лицето на [tex]\Delta APD=S=>S=\frac{AP.DM}{2 } =>S=\frac{(a-b)h}{ 2}[/tex]. Прилагаме котангенсова теорема за същия триъгълник=>
[tex](a-b)^2=c^2+d^2-4S.cotg\alpha =>a^2-2ab+b^2=c^2+d^2-2h(a-b)cotg\alpha =>ab=h(a-b)cotg\alpha =>[/tex]
[tex]\frac{1}{h }=\frac{a-b}{ ab} cotg\alpha =>\frac{1}{ h} =(\frac{1}{ b} -\frac{1}{ a} )cotg\alpha[/tex]

Q.E.D. (quod erat demonstrandum)

[valka7a]

Много благодаря!