Геометрийка за 9 клас

[gredon]

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]\Delta ABC[/tex] с височина [tex]CH[/tex]. Точка [tex]M[/tex] е вътрешна за [tex]CH[/tex], такава, че [tex]\angle ACH = \angle MAH[/tex]. Да се намери радиусът на описаната окръжност, ако [tex]sin\angle ACB = sin\angle AMB[/tex] и [tex]CM + 2MH = 2[/tex]

[math10.com]

zad4.png (34.12 KiB) Прегледано 282 пъти

Нека [tex]\angle BAC=\alpha ,\Right \angle ACH=\angle MAH=90^\circ -\alpha[/tex]
Нека [tex]NH=MH , N\in CH[/tex]
[tex]\Right \triangle ANH,\triangle AMH[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]\Right \angle ANH=\angle AMH=90^\circ -\angle MAH =\alpha[/tex] като СЕЕТ
[tex]\Right \angle NAC=\angle NAH+\angle NAC=90^\circ -\alpha+\alpha =90^\circ[/tex]
Аналогично [tex]\Right \triangle BNH,\triangle BMH[/tex] са еднакви по 1-ви признак
[tex]\Right \angle BMH=\angle BNH=\beta[/tex] като СЕЕТ
[tex]\angle AMB>\angle ACB , sin{\angle AMB}=sin{\angle ACB} ; \Right \angle AMB+\angle ACB=180^\circ[/tex]
[tex]\Right \angle ANB=\angle AMB[/tex]
Следователно [tex]N[/tex] лежи на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност с център средата на [tex]CN=CM+2MH=2 \Right R=1[/tex]

[gredon]

Точно това е и моето решение, симпатична си е