Задача- стереометрия

[drago]

Върху сфера с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]R[/tex] са дадени три точки [tex]A, B, C[/tex]. Да се докаже, че съществува точка [tex]X[/tex] върху сферата, така че дължината на всяка от проекциите на отсечката [tex]OX[/tex] върху правите [tex]OA, OB[/tex] и [tex]OC[/tex] е по-малка или равна на [tex]R/\sqrt{3}[/tex].

[drago]

Това, само че за n-мерния слуай, е дадено на международната студентска олимпиада (IMC) 2013 (Благоевград).
В двумерния случай е почти очевидно, после по индукция. Има и други начини...
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=548034
и официалното решение(зад 3): http://www.imc-math.org.uk/imc2013/IMC2 ... utions.pdf