Разходка по Земята/Олимпиада Л.Ойлер 2011

[drago]

Една приятана, по-скоро забавна задача:
Да предположим че повърхността на Земята е идеална сфера [tex]S[/tex]. Нека [tex]A\subset S[/tex] е множеството от всички точки [tex]X\in S[/tex] със свойството: ако тръгнем от [tex]X[/tex] и вървим 10км на юг, след което 10км на изток и после 10км на север ще пристигнем пак в [tex]X[/tex].
Вярно ли е, че множеството [tex]A[/tex] е затворено?

Забележка: В [tex]A[/tex] не влизат точки, за които описания маршрут не е дефиниран, например южния полюс, защото не можем да отидем на юг от южния полюс.

[inveidar]

Е това не е ли само северния полюс?
Ааааа, объркал съм се. Има и още много. Не съобразих, че обикаляйки на изток по паралел, можем да се върнем пак в същата точка, от която тръгваме!
Другите можем да намерим така: Съществува паралел, който е близо до южния полюс и обиколката му е точно 10 км. Всяка точка, която се намира на разстояние 10 км на север от този паралел ни устройва, т.е това е цяла окръжност. Аналогично съществува още по-близък паралел до южния полюс с обиколка 5 км, 2,5км и въобще [tex]\frac{10}{k }[/tex] км, където к е цяло положително число. Всеки паралел, който е на разстояние 10 км на север от дадените също ни устройва. И така, всички точки върху земното кълбо с исканото свойство са окръжности с радиус [tex]R=\frac{10}{2\pi k }[/tex] и северният полюс.

[pal702004]

Е това не е ли само северния полюс?

Освен точката на северният полюс, има множество окръжности близо до южния - Окръжностите с дължина [tex]\frac{10}{k}, k\in N[/tex] - като вървиш 10 км на изток/запад попадаш в точката, от която си тръгнал. Значи мааалко на север от тях.

[grav]

Така както е дадена забележката, предполагам, че точките от паралела на 10к от южния полюс не се броят. Защото като тръгнеш на юг ще стигнеш южния полюс и от там всички посоки са север т.е. не може да вървиш на изток. А точките от този паралел са гранични за А.

[pal702004]

Така както е дадена забележката, предполагам, че точките от паралела на 10к от южния полюс не се броят. Защото като тръгнеш на юг ще стигнеш южния полюс и от там всички посоки са север т.е. не може да вървиш на изток. А точките от този паралел са гранични за А.

Аз казах малко по на север от тях - тези, при които като вървиш на юг 10 км попадаш на окръжност с дължина [tex]\frac{10}{k}[/tex]

[drago]

E да де! пък grav казва, че тези окръжности приближават до една на 10 км на север от южния полюс, бе тя да е от A. Т.е. A не е затворено!

[grav]

Аз казах малко по на север от тях - тези, при които като вървиш на юг 10 км попадаш на окръжност с дължина [tex]\frac{10}{k}[/tex]

Именно! Това прави множеството незатворено(има ли такава дума?).

[inveidar]

Е това не е ли само северния полюс?
Ааааа, объркал съм се. Има и още много. Не съобразих, че обикаляйки на изток по паралел, можем да се върнем пак в същата точка, от която тръгваме!
Другите можем да намерим така: Съществува паралел, който е близо до южния полюс и обиколката му е точно 10 км. Всяка точка, която се намира на разстояние 10 км на север от този паралел ни устройва, т.е това е цяла окръжност. Аналогично съществува още по-близък паралел до южния полюс с обиколка 5 км, 2,5км и въобще [tex]\frac{10}{k }[/tex] км, където к е цяло положително число. Всеки паралел, който е на разстояние 10 км на север от дадените също ни устройва. И така, всички точки върху земното кълбо с исканото свойство са окръжности с радиус [tex]R=\frac{10}{2\pi k }[/tex] и северният полюс.

Е, изпреварихте ме!
Всъщност не са тези окръжности, които съм написал в края, а онези, които са на разстояние 10 км на север от тях.
И да, техните радиуси клонят към граница, която не се достига, защото на първите радиусите клонят към нула, т.е те към южния полюс, който е изключен.