Възможни стойности на a чрез p и r

[kucheto]

Дадени са полупериметърът [tex]p[/tex] и радиусът на вписаната окръжност [tex]r[/tex] на [tex]\triangle ABC.[/tex] Да се намерят възможните стойности на страната [tex]BC=a[/tex] в зависимост от [tex]p[/tex] и [tex]r.[/tex]

[monika_at]

dog.png (15.79 KiB) Прегледано 571 пъти

1) Ще докажем, че за всеки триъгълник [tex]h_a^2\le p(p-a)[/tex]

[tex]a^2h_a^2=4p(p-a)(p-b)(p-c)=>h_a^2=p(p-a).\frac{(a+b-c)(c+a-b)}{ a^2}[/tex]

Но,[tex]\frac{(a+b-c)(c+a-b)}{ a^2}\le 1=>h_a^2\le p(p-a)[/tex](1)

Върху правата АВ построяваме [tex]MB=AB=c; CN=AC=b=>MN=2p; \Delta BOC; \Delta MAN[/tex] са подобни.
Тогава [tex]\frac{S_{MAN}}{ S_{BOC}} =\frac{2ph}{ar } >1=>4p^2h^2>a^2r^2[/tex]

От (1)=>[tex]4p^2p(p-a)>a^2r^2=>r^2a^2+4p^3a-4p^4<0[/tex]=>

[tex]a\in (0; \frac{-2p^3+2p^2\sqrt{p^2+r^2} }{ r^2} )[/tex]

Шеметен отговор Нямам идея, какво пиша ))

[kucheto]

[tex]a\in (0; \frac{-2p^3+2p^2\sqrt{p^2+r^2} }{ r^2} )[/tex]

Не е това отговорът. Проблемът според мен идва от това, че [tex]h_a^2[/tex] се замества с [tex]p(p-a)[/tex] и се използват строги неравенства, които могат да заличат някои отговори. По принцип трябва да се получи кубично неравенство относно [tex]a,[/tex] за което, след изследване с производни, се стига до следните изводи:
1) ако [tex]p^2<27r^2,[/tex] не съществува триъгълник;
2) ако [tex]p^2=27r^2\Rightarrow a=b=c=\frac{2p}{3}[/tex] (viewtopic.php?f=50&t=3666);
3) ако [tex]p^2>27r^2...[/tex] - оставям за размисъл, не е нужно да пишете корените по формулите на Кардано, просто трябва да изследвате в кои интервали са и какво следва от това.
Ако скоро никой не напише решение, ще пусна моето.

[monika_at]

Това, че оценявам височината според мен не би трябвало да е проблем.
Аз преди да стъкмя тази "красота" също достигнах до кубично уравнение, като съответната функция има минимум, за а=2р/3 (т.е., когато триъгълникът е равностранен). Иначе, да за всеки триъгълник [tex]p\ge 3\sqrt{3} r[/tex]
Ти обаче, даваш в решението си някакви връзки между радиуса и полупериметъра. Аз поне разбрах условието по следния начин:
При фиксирани радиус и периметър, да се намерят всички стойности, които може да приема а.
В този случай мисля, че решението ми е коректно (може обаче и да греша)

[kucheto]

Ти обаче, даваш в решението си някакви връзки между радиуса и полупериметъра. Аз поне разбрах условието по следния начин:
При фиксирани радиус и периметър, да се намерят всички стойности, които може да приема а.
В този случай мисля, че решението ми е коректно (може обаче и да греша)

Точно това имам предвид, но в самият отговор трябва да се достигне до извода, че при [tex]p^2<27r^2[/tex] няма решение, което аз не виждам. Напълно съм сигурен, че интервалът [tex]a\in (0; \frac{-2p^3+2p^2\sqrt{p^2+r^2} }{ r^2} )[/tex] е грешен, защото в него [tex]r[/tex] по никакъв начин не зависи от [tex]p[/tex] и може да приема произволна положителна стойност, което в действителност не е така.

[monika_at]

Тогава промени условието си. Така, както е написано се разбира друго яче.

[kucheto]

Тогава промени условието си. Така, както е написано се разбира друго яче.

Не е така. Когато например имаме параметрично квадратно уравнение ние изследваме няколко случая в зависимост от стойностите на старшия коефициент и дискриминантата и накрая пишем в отговора си обединението на различните случаи. И в моята задача е така - изследваме връзката между [tex]p[/tex] и [tex]r[/tex] и описваме различните случаи. Това е, няма какво повече да се умува.

[monika_at]

Прекрасно. Значи считаме въпроса за изяснен. Тогава задачата ти става тривиална.

[Knowledge Greedy]

[tex]\frac{a+b+c}{ 2}=p\Rightarrow a=2p-(b+c)[/tex]
По неравенството СА-СГ между средно аритметично и средно геометрично, [tex]b+c\ge 2\sqrt{bc}[/tex]
Оттук [tex]a=2p-(b+c)\le 2p- 2\sqrt{bc}\le2p- 2\sqrt{bcsin\alpha } \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow a\le 2p-2\sqrt{2S}[/tex]
И понеже [tex]S=pr[/tex],
достигнахме до
[tex]max (a)=2p-2\sqrt{2pr}[/tex], което трябва да се достигне при едновременното изпълнение на [tex]c=b[/tex]
(заради неравенството СА-СГ) и второ - когато [tex]sin\alpha =1[/tex] , т.е. при [tex]\alpha =90^\circ[/tex]

Като решим правоъгълния равнобедрен триъгълник с даден полупериметър [tex]p[/tex], получаваме, че това става при
[tex]b=c=(2-\sqrt{2} )p[/tex] и [tex]a=2(\sqrt{2}-1)p[/tex]
Тогава трябва да съществува връзка между [tex]p[/tex] и [tex]r[/tex],
и тя е [tex]r=(3-2\sqrt{2})p[/tex]
Ако горната връзка не е изпълнена, но триъгълникът съществува, то е изпълнено строгото неравенство [tex]a<2p-2\sqrt{2pr}[/tex]

Толкова от мен за тази вечер . Утре трябва да съчетаем този резултат с идеите на monika_at и kucheto

[Knowledge Greedy]

Една забележка към поста на kucheto

[tex]a\in (0; \frac{-2p^3+2p^2\sqrt{p^2+r^2} }{ r^2} )[/tex]

.. Проблемът според мен идва от това, че [tex]h_a^2[/tex] се замества с [tex]p(p-a)[/tex] и се използват строги неравенства, които могат да заличат някои отговори...

Няма как да се заличат отговори, просто тези отговори ще останат вътре в интервала, получен от monika_at

[Knowledge Greedy]

И една забележка по резултата на monika_at

... [tex]\Delta BOC[/tex] и [tex]\Delta MAN[/tex] са подобни.
Тогава [tex]\frac{S_{MAN}}{ S_{BOC}} =\frac{2ph}{ar } >1=>4p^2h^2>a^2r^2[/tex]

От (1)=>[tex]4p^2p(p-a)>a^2r^2=>r^2a^2+4p^3a-4p^4<0[/tex]...

Струва ми се, че оценката, от която се прави извода за [tex]a[/tex] е доста груба, тъй като коефициентът на подобие е доста по-голям от [tex]1[/tex] .

[monika_at]

И една забележка по резултата на monika_at

... [tex]\Delta BOC[/tex] и [tex]\Delta MAN[/tex] са подобни.
Тогава [tex]\frac{S_{MAN}}{ S_{BOC}} =\frac{2ph}{ar } >1=>4p^2h^2>a^2r^2[/tex]

От (1)=>[tex]4p^2p(p-a)>a^2r^2=>r^2a^2+4p^3a-4p^4<0[/tex]...

Струва ми се, че оценката, от която се прави извода за [tex]a[/tex] е доста груба, тъй като коефициентът на подобие е доста по-голям от [tex]1[/tex] .

Мдаааа, съгласна съм с теб, абсолютно прав си.

[kucheto]

Решение: За да съществува триъгълникът, трябва да съществуват страните [tex]b=CA[/tex] и [tex]c=AB.[/tex] Нека лицето е [tex]S.[/tex] ДМ: [tex]0<a<p.[/tex] Имаме:

[tex]S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\ p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\\ pr^2=p^3-p^2(a+b+c)+p(ab+bc+ca)-abc\\ p^3+pr^2=pa(2p-a)+(p-a)bc[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}b+c=2p-a\\ bc=\frac{p^3-2ap^2+(r^2+a^2)p}{p-a}\end{tabular}[/tex]

[tex]b,c=p-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{(2p-a)^2-4\frac{p^3-2ap^2+(r^2+a^2)p}{p-a}}}{2}[/tex]

[tex]b,c=p-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{-a^3+pa^2-4pr^2}}{2\sqrt{p-a}}\cdot[/tex]

Дискриминантата [tex]D=-a^3+pa^2-4pr^2[/tex] трябва да е неотрицателна, тоест трябва да решим неравенството [tex]f(a)=a^3-pa^2+4pr^2\le 0.[/tex] Първите 2 производни са: [tex]f'(a)=a(3a-2p),\ f''(a)=6a-2p.[/tex] Оттук следва, че [tex]f(a)[/tex] намалява в [tex]\left(0,\frac{2p}{3}\right)[/tex] и расте в [tex]\left(\frac{2p}{3},p\right),[/tex] като [tex]f(0)=f(p)=4pr^2>0[/tex] и [tex]f\left(\frac{2p}{3}\right)=\frac{4p}{27}(27r^2-p^2)\cdot[/tex] Разглеждаме 3 случая:

1) ако [tex]27r^2>p^2\Rightarrow f\left(\frac{2p}{3}\right)>0\Rightarrow D<0,[/tex] като триъгълник не съществува;
2) ако [tex]27r^2=p^2\Rightarrow a=\frac{2p}{3}=b=c,[/tex] като триъгълникът е равностранен;
3) ако [tex]27r^2<p^2,[/tex] то кубичният полином [tex]f(a)[/tex] има 2 корена (които например могат да се определят по формулите на Кардано): [tex]a_1\in\left(0,\frac{2p}{3}\right)[/tex] и [tex]a_2\in\left(\frac{2p}{3},p\right),[/tex] като [tex]a\in [a_1,a_2].[/tex]