Международна олимпиада по математика 2014

[kucheto]

Ето и задачите от първия ден (днес, 8 юли) на МОМ 2014 в Кейптаун, Южна Африка:

1. Нека [tex]a_0<a_1<a_2<...[/tex] е безкрайна редица от естествени числа. Да се докаже, че съществува единствено [tex]n\ge 1,[/tex] така че [tex]a_n<\frac{a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.[/tex]

2. Нека [tex]n\ge 2[/tex] е цяло число. Разглеждаме шахматна дъска [tex]n\times n,[/tex] съставена от [tex]n^2[/tex] единични квадрата. Конфигурация от [tex]n[/tex] топа се нарича мирна, ако всеки ред и всяка колона съдържа само един топ. Да се намери най-голямото естествено число [tex]k[/tex], така че за всяка мирна конфигурация от [tex]n[/tex] топа съществува квадрат [tex]k\times k,[/tex] който не съдържа топ в никой от своите [tex]k^2[/tex] единични квадрата.

3. Даден е изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD,[/tex] за който [tex]\angle ABC=\angle CDA=90^{\circ}.[/tex] Точка [tex]H[/tex] е пета на перпендикуляра от [tex]A[/tex] към [tex]BD[/tex]. Точките [tex]S[/tex] и [tex]T[/tex] лежат на страните [tex]AB[/tex] и [tex]AD[/tex] съответно, така че [tex]H[/tex] лежи вътре в [tex]\triangle SCT[/tex] и [tex]\angle CHS-\angle CSB=90^{\circ},\ \angle THC-\angle DTC=90^{\circ}.[/tex] Да се докаже, че правата [tex]BD[/tex] е допирателна към описаната около [tex]\triangle TSH[/tex] окръжност.

[kucheto]

Ето и задачите от втория ден (днес, 9 юли):

4. Нека точките [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на страната [tex]BC[/tex] на остроъгълния [tex]\triangle ABC[/tex], така че [tex]\angle PAB=\angle BCA[/tex] и [tex]\angle CAQ=\angle ABC.[/tex] Нека точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са такива, че [tex]P[/tex] е среда на [tex]AM[/tex] и [tex]Q[/tex] е среда на [tex]AN.[/tex] Да се докаже, че [tex]BM[/tex] и [tex]CN[/tex] се пресичат на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

5. За всяко естествено число [tex]n[/tex] Банката на Кейптаун пуска в обращение монети със стойност [tex]\frac{1}{n}.[/tex] Разглеждаме крайна колекция от такива монети (монетите не са непременно с различни стойности), чиито стойности имат сума най-много [tex]99+\frac{1}{2}.[/tex] Да се докаже, че можем да разделим колекцията на не повече от [tex]100[/tex] групи, така че общата сума на монетните стойности във всяка група да не надхвърля [tex]1.[/tex]

6. Множество от прави в равнината е в обобщено положение, ако никои [tex]2[/tex] прави не са успоредни и никои [tex]3[/tex] прави не минават през [tex]1[/tex] точка. Множество от прави в обобщено положение разделя равнината на региони, някои от които имат крайно лице; ние наричаме тези региони крайни. Да се докаже, че за всяко достатъчно голямо [tex]n,[/tex] във всяко множество от [tex]n[/tex] прави в обобщено положение е възможно да се оцветят поне [tex]\sqrt{n}[/tex] от тях в синьо по такъв начин, че никой от крайните региони да няма напълно синя граница.
Забележка: Резултати, при които [tex]\sqrt{n}[/tex] е заменено с [tex]c\sqrt{n}[/tex] ще бъдат наградени с точки в зависимост от стойността на константата [tex]c.[/tex]

[Baronov]

1, 2 и 4-та са доста леснички.

[kucheto]

Задачи от типа на втора (правоъгълни и квадратни решетки) често се дават като трета или четвърта задача на някое от националните състезания (ЗМС, ПМТ, ЕМТ) за 9-12 клас.

[Baronov]

Частични резултати: http://www.mediafire.com/download/pw5cc ... d/res1.zip

Намерих ги в ето тук - http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&start=20.

[inveidar]

По груби сметки ще сме между 25-то и 35-то място. Голяма издънка на трета (геометрия) и шеста задача. Но трета, пета и шеста задача са затруднили почти всички отбори.

[inveidar]

6. Множество от прави в равнината е в обобщено положение, ако никои [tex]2[/tex] прави не са успоредни и никои [tex]3[/tex] прави не минават през [tex]1[/tex] точка. Множество от прави в обобщено положение разделя равнината на региони, някои от които имат крайно лице; ние наричаме тези региони крайни. Да се докаже, че за всяко достатъчно голямо [tex]n,[/tex] във всяко множество от [tex]n[/tex] прави в обобщено положение е възможно да се оцветят поне [tex]\sqrt{n}[/tex] от тях в синьо по такъв начин, че никой от крайните региони да няма напълно синя граница.
Забележка: Резултати, при които [tex]\sqrt{n}[/tex] е заменено с [tex]c\sqrt{n}[/tex] ще бъдат наградени с точки в зависимост от стойността на константата [tex]c.[/tex]

Само да отбележа, че се нарича ОБЩО положение, а не обобщено.

[kucheto]

Само да отбележа, че се нарича ОБЩО положение, а не обобщено.

Да, наистина, само че не мога да го редактирам.

[kucheto]

Резултати: http://imo-official.org/year_info.aspx?year=2014

[ins-]

Можеше и по-зле да е. Постепенно се затвърждава степента на деградация в образованието като цяло.