Екстремална 1

[monika_at]

Лято е, учениците вече не пишат. Да дам и аз своя принос към форума, откъм задачи:)


Да се докаже неравенството [tex]\frac{AM}{A_1M } +\frac{BM}{B_1M } +\frac{CM}{C_1M } \ge 8[/tex],където т.М е вътре в триъгълника [tex]ABC[/tex], а [tex]A_1, B_1, C_1[/tex] са пресечните точки на правите [tex]AM, BM, CM[/tex] съответно със страните [tex]BC, CA, AB[/tex]

[kucheto]

Минимумът трябва да е [tex]6,[/tex] а не [tex]8.[/tex] Ето и доказателството:

От теоремата на Ван Обел следва, че [tex]\frac{AM}{A_1M}=\frac{AB_1}{CB_1}+\frac{AC_1}{BC_1}.[/tex] Като преработим и другите [tex]2[/tex] събираеми, се получава, че сборът е равен на [tex]\left(\frac{AB_1}{CB_1}+\frac{CB_1}{AB_1}\right)+\left(\frac{AC_1}{BC_1}+\frac{BC_1}{AC_1}\right)+\left(\frac{BA_1}{CA_1}+\frac{CA_1}{BA_1}\right)\ge 2+2+2=6[/tex], което и трябваше да се докаже (равенство се достига, когато [tex]A_1,\ B_1,\ C_1[/tex] са среди съответно на [tex]BC,\ CA,\ AB[/tex] и тогава [tex]M[/tex] е медицентърът на [tex]\triangle ABC[/tex]).

[monika_at]

Да, извинявам се. Минимумът на сбора е 6, а на произведението е 8.

[kucheto]

За произведението е същото: [tex]\frac{AB_1}{CB_1}+\frac{AC_1}{BC_1}\ge 2\sqrt{\frac{AB_1.AC_1}{CB_1.BC_1}}\cdot[/tex] Правим същата оценка и за останалите два множителя, умножаваме ги почленно и получаваме, че търсеният минимум е [tex]8,[/tex] като равенство отново имаме, когато [tex]M[/tex] е медицентър.