Екстремална 2

[monika_at]

Диагоналите на изпъкнал четириъгълник са [tex]2a[/tex] и [tex]2b[/tex]. Да се докаже, че една от страните на четириъгълника не е по-малка от [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex].

[kucheto]

Нека четириъгълникът е [tex]ABCD.[/tex] Достатъчно е да докажем, че [tex]AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\ge AC^2+BD^2.[/tex] Нека [tex]O[/tex] е произволна точка. Въвеждаме следните вектори:[tex]\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b},\ \vec{OC}=\vec{c},\ \vec{OD}=\vec{d}.[/tex] Тогава имаме: [tex]\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a},\ \vec{BC}=\vec{c}-\vec{b},\ \vec{CD}=\vec{d}-\vec{a},\ \vec{DA}=\vec{a}-\vec{d},\ \vec{AC}=\vec{c}-\vec{a},\ \vec{BD}=\vec{d}-\vec{b}.[/tex] Оттук: [tex]\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+\vec{CD}^2+\vec{DA}^2-\vec{AC}^2-\vec{BD}^2=(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}-\vec{d})^2\ge 0,[/tex] което и трябваше да се докаже.