Коя цифра се среща най-често?

[drago]

Нека [tex]a_n[/tex] е първата цифра в десетичния запис на [tex]2^n\,,\, n=1,2,\ldots[/tex] . Коя е най-срещаната цифра в редицата [tex](a_n)_{n=1}^{\infty}[/tex] ?

[kmitov]

1

[drago]

Това емпирично ли го установи или имаш някакви други идеи?

[kmitov]

Ами с EXCEL. Получава се 1 2 4 8 1 3 6 1 2 5 и се зацикля. Може би ще може по индукция да се докаже, този цикъл. Това е.

[drago]

Няма цикъл, тази редица не е периодична или ако образуваш примерно числото [tex]0.a_1a_2\ldots[/tex] , то не е рационално.
Това последното като задача е давана на някакво българско контролно за МОМ, не помня годината.
Под честота на срещане на дадена цифра [tex]k[/tex] разбирам:
[tex]\lim_{N\to\infty} |\{n\mid a_n=k, n\le N\}|/N[/tex], ако разбира се горната граница съществува (а то е така).

[Baronov]

Ами с EXCEL. Получава се 1 2 4 8 1 3 6 1 2 5 и се зацикля. Може би ще може по индукция да се докаже, този цикъл. Това е.

Това не е вярно. Всяка цифра се среща като първа цифра на някоя степен на 2. Даже с теоремата на Кронекер може да се докаже, че съществува степен на 2, която започва с 234235325131515231531533.

[kmitov]

Е, явно съм се подвел от техниката. Здраве да е. Друг ще я реши правилно.

[math10.com]

Че най-срещаната цифра е 1 е ясно.Обяснявам го философски , а вие ще си го напишете математически.
Разглеждаме първите 16 числа от редицата [tex]b_n=2^n[/tex] .
Нека [tex]p_{i,j}[/tex] (i,j са индекси т.е са цели положителни числа) е първата цифра в десетичния запис на [tex]b_n=2^n[/tex],където [tex]i[/tex] е броят на числата с [tex]j[/tex] цифри в десетичния запис ,като лесно се съобразява ,че [tex]i \le 4[/tex]
[tex]p_{1,1}=2,p_{2,1}=4,p_{3,1}=8,p_{1,2}=1,p_{2,2}=3,p_{3,2}=6,p_{1,3}=1,p_{2,3}=2,p_{3,3}=5,p_{1,4}=1,p_{2,4}=2,p_{3,4}=4,p_{4,4}=8,p_{1,5}=1,p_{2,5}=3,p_{3,5}=6[/tex]
[tex]\Right[/tex] цифрата 1 ,като първа цифра в десетичния запис се среща 4 пъти , цифрата 2 -3 пъти,цифрите 3,4,6,8 по 2 пъти и 5 веднъж.
[tex]p_{1,j}=1[/tex] , за всяко [tex]j\ge 6[/tex]
[tex]p_{2,j}\in (2,3)[/tex] , за всяко [tex]j\ge 6[/tex]
[tex]p_{3,j}\in (4,5,6,7)[/tex] , за всяко [tex]j\ge 6[/tex]
[tex]p_{4,j}\in (8,9)[/tex] , за всяко [tex]j\ge 6[/tex]
Нека [tex]f(x) , x\in (1,2,3,4,5,6,7,8,9)[/tex] е броя на елементите от редицата [tex]b_n=2^n[/tex] с първа цифра [tex]x[/tex]
[tex]\Right f(1)=j-1 , f(2)+f(3)=j , f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=j , f(8)+f(9)\le j-3[/tex]
[tex]f(3) \ge 2 \Right f(2)\le j-2[/tex]
[tex]f(2) \ge 3 \Right f(3) \le j-3[/tex]
Аналогично [tex]f(4) \le j-3 , f(6) \le j-3 , f(5) \le j-4 , f(7) \le j-5[/tex]

[pal702004]

За всяко n, (такова че първата цифра на [tex]2^n[/tex] е 8 или 9) са верни следните равенства:
[tex]N_1=N_2+N_3[/tex]
[tex]N_2=N_4+N_5[/tex]
[tex]N_3=N_6+N_7[/tex]
[tex]N_4=N_8+N_9[/tex]

където [tex]N_k[/tex] е броят на елементите в редицата, първата цифра на които е k.
От една страна: ако първата цифра на [tex]a_k[/tex] е 1, то първата цифра на [tex]a_{k+1}[/tex] е 2 или 3. От друга страна, първата цифра на [tex]a_{k+1}[/tex] е 2 тогава и само тогава, когато първата цифра на [tex]a_k[/tex] е 1, първата цифра на [tex]a_{k+1}[/tex] е 3 тогава и само тогава, когато първата цифра на [tex]a_k[/tex] е 1. Откъдето следва първото равенство, остаталите-аналогично.

Редицата, която имам предвид започва с 1: 1,2,4,8...,но това няма голямо змачение.

[drago]

Да, това не ми беше хрумвало. Като изключим някои неточности, за които вина имам и аз, тъй като, както е зададена е малко некоректна.
Нека я формулирам така:
Да се пресметнат:

[tex]\lim_{N\to\infty}\,\, \frac{|\,\{\,n\,\mid \, a_n=k\,,\, n\le N\,\}\,|}{N}[/tex]

за [tex]k=1,2,\ldots,9[/tex]

P.S. Горните разсъждения, даже не доказват, че тези граници съществуват.
А..., и още нещо; това малко излиза извън училищния материал, ако някой придиря за тези неща, ама би могло да го разбере способен ученик.

[drago]

Първата цифра на [tex]2^n[/tex] е [tex]j[/tex] точно тогава, когато [tex]j 10^m \le 2^n < (j+1)10^{m}[/tex] за някое [tex]m\in \mathbb{N}[/tex]. Това означава, че [tex]\{n\lg 2\} \in [\, \lg j , \lg(j+1) \,)[/tex]. И така имаме:
[tex]|\{n\mid n\le N,\, j \,[/tex] е първата цифра на [tex]\, 2^n\}|/N = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \chi_{[\,\lg j , \lg(j+1)\, )}\, \{i\,\lg 2\}[/tex]
Тъй като при ирационално [tex]\alpha[/tex] , редицата [tex]\{i \alpha\}\,,\, i=0,1,2,\ldots[/tex] е равномерно разпределенa(виж напр. тук ) в интервала [tex][0,1][/tex], дясната страна на горното клони към [tex]\lg(j+1)-\lg j=\lg\frac{ j+1}{j}[/tex], при [tex]N\to \infty[/tex], което е всъщност честотата на срещане на цифрата [tex]j[/tex]. И така най-срещаната цифра в тази редица е [tex]1[/tex].

Да се върнем на задачата давана на едно българско контролно за МОМ, именно да се докаже че [tex]0.a_1a_2\ldots[/tex] е ирационално. Ако допуснем, че е рационално, то ще получим, че честотата на срещане на цифрите участващи в периода ще бъдат положителни рационални числа. Както видяхме, това не е така, тъй че като допълнение решихме и това.