Чева и Менелай. Задача от "стар" руски сборник.

[Andrey Stoev]

Сборника е с куп интересни задачи от всички раздели на елементарната геометрия. Задачата е от раздела "Теорема на Чева и Менелай" и дори не е от последните в раздела. Стигнах до нея и не мога да продължа. Ето я и нея:

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex]. На правите [tex]BC[/tex], [tex]CA[/tex], [tex]AB[/tex] са взети съответно точки: [tex]A_1[/tex] и [tex]A_2[/tex]; [tex]B_1[/tex] и [tex]B_2[/tex]; [tex]C_1[/tex] и [tex]C_2[/tex] [tex]\left(A_1,A_2\in BC, B_1,B_2\in CA, C_1,C_2\in AB\right)[/tex] оказва се, че правите [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex], [tex]CC_1[/tex] се пресичат в една точка, също както и правите [tex]AA_2[/tex], [tex]BB_2[/tex], [tex]CC_2[/tex] (но не в същата точка). Да се докаже, че:
а) пресечните точки на правите [tex]A_1B_1[/tex] и [tex]AB[/tex], [tex]B_1C_1[/tex] и [tex]BC[/tex], [tex]C_1A_1[/tex] и [tex]CA[/tex] лежат на една права [tex]l_1[/tex];
[tex]l_2[/tex] се определя аналогично на [tex]l_1[/tex], но относно точките [tex]A_2[/tex], [tex]B_2[/tex], [tex]C_2[/tex];
б) точка [tex]A[/tex], пресечната точка на правите [tex]l_1[/tex] и [tex]l_2[/tex], пресечната точка на правите [tex]B_1C_1[/tex] и [tex]B_2C_2[/tex] лежат на една права;
в) пресечната точка на правите [tex]BC[/tex] и [tex]B_2C_1[/tex], [tex]CA[/tex] и [tex]C_2A_2[/tex], [tex]AB[/tex] и [tex]A_1B_1[/tex] лежат на една права.

ТОВА Е ЗАДАЧАТА, НО всъщност а) и в) се решават с прилагането последователно 3 пъти теоремата на Чева и веднъж на Менелай. Тях ги доказах, но подточка б) ме възпрепятства. В упътването пише да си помогнем с резултата от предходната задача, която гласи:

Даден е ъгъл с връх [tex]O[/tex]. На едното му рамо са взети точки [tex]A_1[/tex], [tex]A_2[/tex], [tex]A_3[/tex], [tex]A_4[/tex], а на другото рамо - точки [tex]B_1[/tex], [tex]B_2[/tex], [tex]B_3[/tex], [tex]B_4[/tex]. Правите [tex]A_1B_1[/tex] и [tex]A_2B_2[/tex] се пресичат в точка [tex]N[/tex], а правите [tex]A_3B_3[/tex] и [tex]A_4B_4[/tex] - в точка [tex]M[/tex]. Да се докаже, че необходимо и достатъчно условие точките [tex]O[/tex], [tex]N[/tex] и [tex]M[/tex] да лежат на една права е да бъде изпълнено равенството: [tex]\frac{OA_1}{OA_3}.\frac{OA_2}{OA_4}.\frac{A_3A_4}{A_1A_2}=\frac{OB_1}{OB_3}.\frac{OB_2}{OB_4}.\frac{B_3B_4}{B_1B_2}[/tex].

ТАЗИ ЛЕМА също не е трудна за доказване, НО пак не мога да свържа задачите. Имам някаква визия за подсказваната идея, но се изгубвам някъде в чертежа и не мога да го видя.
Моля, опитайте се да ми помогнете с подточка б)!