Задачка :-)

[ins-]

В остроъгълния равнобедрен триъгълник ABC (AB=AC) е избрана точка P, такава, че <BPC=2<BAC, а K е петата на перпендикуляра от A към външната ъглополовяща на <BPC. Докажете, че BP + PC = 2AK.

[ganka simeonova]

Боби, може и да съм в грешка, но мисля, че тази задача не е с вярно заключение. Равенство е възможно ( според мен), само ако триъгълникът е равностранен.

[ganka simeonova]

Боби, може и да съм в грешка, но мисля, че тази задача не е с вярно заключение. Равенство е възможно ( според мен), само ако триъгълникът е равностранен.
Иначе е много интересна.

[ganka simeonova]

Ето чертеж. Надявам се, да го разчетете. Ако има нещо неясно, казвайте
Но, ако предполагаме заключението, би трябвало [tex]CT=AF[/tex]=> на равни хорди съответстват равни дъги, но според мен това не е така в случая.
Ако искате, можем да коментираме.

[ins-]

Извинявам се много! Грешката е в мен. При превода съм бързал. Автора на задачата много обича нестандартните означения. Вместо AC=BC трябва да е AB=AC.

[mkmarinov]

Доста добра задача .
Нека [tex]CP \cap AK=T, CT \cap AB=L, PM \equiv l_{<LPM} (M \in AB), AK \cap BP=N[/tex]
Триъгълник PTN е равнобедрен (РК - ъглополовяща и височина) => ТК=KN и PT=PN.
[tex]<CAB=\alpha; <BAN=x[/tex]
[tex]<MPB=<MPL=\frac{\pi-2\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\alpha[/tex]
[tex]<BPM=<MPL=\frac{\pi}{2}-\alpha; <BMP=\frac{\pi}{2}+x[/tex] (външен за триъгълник АМК) => [tex]<MBN \equiv <ABN=\alpha-x=<TAC (1)[/tex]
[tex]<PTK=\frac{\pi}{2}-<LPM=\alpha => <PTA = \pi-\alpha[/tex]
[tex]<ACT=\pi-(<TAC+<ATC)=\pi-(\alpha-x+\pi-\alpha)=x=<BAN (2)[/tex]
От (1) и (2) => [tex]\triangle ATC \approx \triangle BNA => \frac{AT}{BN}=\frac{TC}{AN}=\frac{AC}{AB}=1[/tex]
[tex]AT=BN => AK-KT=BP-PN[/tex]
[tex]TC=AN => AK+KN=AK+KT=CP+PT=CP+CN[/tex], по-важното
[tex]AK+KT=CP+PN[/tex]
[tex]AK-KT=BP-PN[/tex]

(Ако някой направи чертеж ще бъда благодарен!)