Квадратен тричлен

[drago]

Видях този пост viewtopic.php?f=65&t=15786&p=65927#p65927 тук в един раздел, за където сякаш не е, и с едно заглавие, което ме хвърли в недоумение. Въпреки това, задачата е интересна и малко нестандартна за домашно (защо ли в училище, когато всичко е по калъп, методистите са най-щастливи? ) . За това я слагам тук, макар може би не става чак за олимпиадна, не знам. Така де, ето я:

За квадратния тричлен [tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex] е изпълнено условието [tex]|f(x)| \le 1[/tex] за всяко [tex]x[/tex] принадлежащо на интервала [tex][-2012\,,\, 2012][/tex] . Да се намери най-голямата възможна стойност на [tex]|a| + |b| + |c|[/tex].

[Knowledge Greedy]

Задачата си е точно олимпиадна. За ученическа олимпиада. Защото е нестандартна по стил, спрямо изложението на учебния материал и на практика може да се усвои от най-много 2-3% от състава на един випуск.

За квадратния тричлен [tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex] е изпълнено условието [tex]|f(x)| \le 1[/tex] за всяко [tex]x[/tex]принадлежащо на интервала [tex][-m\,,\, m][/tex] , при [tex]m>0[/tex]. Да се намери най-голямата възможна стойност на [tex]|a| + |b| + |c|[/tex].
Решение:
Означаваме [tex]R=|a| + |b| + |c|[/tex].
Да означим още [tex]f(-m)=u[/tex] и [tex]f(m)=v[/tex].
От условието веднага следва, че [tex]|u| \le 1[/tex],
[tex]|v| \le 1[/tex] и [tex]|c| \le 1[/tex].

От системата [tex]\left|\begin{matrix}
am^2-bm+c=u\\
am^2+bm+c=v
\end{matrix}\right[/tex]
изразяваме
[tex]\left|\begin{matrix}
a=&\frac{1}{2m^2 }(u+v)&- \frac{1}{2m^2 }c\\
b=&\frac{1}{2m }(v-u)&
\end{matrix}\right[/tex]

[tex]R= \left | \frac{1}{2m^2 }(u+v)- \frac{1}{2m^2 }c \right |+\left |\frac{1}{2m }(v-u)\right|+\left | c \right|[/tex]

I случай. [tex]uv<0[/tex] \[tex]\Rightarrow[/tex][tex]|v-u|\le 2[/tex] и [tex]|u+v|\le 1[/tex]

Тогава [tex]R\le \frac{1}{ m^2} +\frac{1}{ m} +1[/tex]

II случай. [tex]uv>0[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]|v-u|\le 1[/tex] и [tex]|u+v|\le 2[/tex]

Тогава [tex]R\le \frac{3}{ 2m^2} +\frac{1}{ 2m} +1[/tex]

Сравнявайки оценките за [tex]R[/tex], правим извод, че [tex]R\le \frac{1}{ m^2} +\frac{1}{ m} +1[/tex], при [tex]m\ge 1[/tex] .
Остава да посочим пример за квадратна функция, която удовлетворява това условие.
[tex]f(x) = \frac{1}{m^2} x^2- \frac{1}{m} x-1[/tex]
Отговор: най-голямата стойност на [tex]|a| + |b| + |c|[/tex] е [tex]\frac{1}{ m^2} +\frac{1}{ m} +1[/tex]
............................
Функцията
[tex]f(x) = \frac{3}{2m^2} x^2 - \frac{1}{2m}x-1[/tex] върши работа за дефиниционен интервал [tex][-m\,,\, m][/tex] при стойности на [tex]m\le 1[/tex] . Т.е. тук отговорът е [tex]maxR= \frac{3}{ 2m^2} +\frac{1}{ 2m} +1[/tex]

----------------------------

[drago]

Значи ти е харесала задачата?

Сравнявайки оценките за [tex]R[/tex], правим извод, че [tex]R\le \frac{1}{ m^2} +\frac{1}{ m} +1[/tex], при [tex]m\ge 1[/tex] .
Остава да посочим пример за квадратна функция, която удовлетворява това условие.
[tex]f(x) = \frac{1}{m^2} x^2- \frac{1}{m} x-1[/tex]
Отговор: най-голямата стойност на [tex]|a| + |b| + |c|[/tex] е [tex]\frac{1}{ m^2} +\frac{1}{ m} +1[/tex]
............................

Обаче това за съжаление не е вярно.
f(-m)=1, f(0)=-1, f(m)=-1, което означава че функцията ще пада под -1 навсякъде в интервала (0,m) и не удовлетворява изискванията.
Оценката е малко завишена и няма да се достига.

[Knowledge Greedy]

Да!

Дали може да се намери точна оценка? Или тричлен, който удовлетворява тази?

[drago]

Тричлен, който удовлетворява тази оценка няма, без да съм правил сметки на хартия. За точна оценка- ако имаш предвид, дали най-голямата възможна стойност се достига- да достига се за някакъв полином. Просто да разгледаме възможните тройки (a,b,c). Лесно се вижда, че те са ограничено множество в [tex]\mathbb{R}^3[/tex] (напр. c=f(0) e ограничено, b=(f(1)-f(-1))/2- също, a= (f(1)+f(-1)-2c)/2- също. От съображения за непрекъснатост това е затворено множество и значи компактно. Сега, известна теорема гарантира, че съществува тройка (a,b,c) със екстремалното свойство.)
Твоя подход общо взето е следния: a,b,c се изразяват чрез стойностите на ф-ята в точките -m,0,m и като използваме че те са по модул по-малки от 1 се получава оценака за искания израз. Но, множеството от квадр. ф-ии които в -m,0,m са по мод. < 1 са много повече от тези, които изцяло в този интервал са такива, така че нормално е като вземаш максимума в по-гол. множество да получиш като оценка нещо по-голямо отколкото всъщност е.
Аз бих предпочел друг подход, някак по геометричен. Представи си параболата обърната нагоре (без ограничение може да смятаме a>0). Тя изцяло в [-m,m] е м/у -1 и 1. Твърдя, че максимума се достига когато f(-m)=1, f(0)=-1, f(m)=1. Идеята е да допуснем, че има и друг максимум, и да поизменим малко ф-ята, такла че да получим по-гол стойност.
... Жалко е наистина, ако е вярно, че само 2-3% от учениците могат да я разберат(не да я решат, ако те рабирам правилно). Това означава, че се набляга на втръснали шаблонни неща без да се провокира нещо по-различно.

[monika_at]

Ами, жалко е, но, не чак толкова, Беше споменал, че методистите са много щастливи, ако всичко е в калъп.. Може и да си прав, но не чак..Лично аз преподавам в ЕГ. Работя със страхотни и интелигенти деца. Доста от тях имат интерес към математиката и повярвай ми, аз се старая, да им покажа всичко интересни положения. Факт е, че в ЕГ мат се изучава по 3 часа седмично в 8, 9, 10 клас и едва профилите в 11 клас учат по 4 седмично, а в 12 по 6 часа. Децата са умни, но за малко от тях МАТ е приоритетна дисциплина. Тази година извеждам всичките 12-ти класове (5 на брой) и около 17 деца от целия випуск ще се явят на ДЗИ по МАТ (това е голям брой). Повярвай ми, профилите в 12 клас непрекъснато ги провокирам с нещо по-различно, но усещам как след една по-трудоемка задача се уморяват. Разбирам ги, абсолютно. Аз преподавам МАТ в ЕГ. Къде обаче са учениците от МГ? В този форум те липсват от последните две години. Не мисля, че за това имат вина учителите. Тази дегенерация е в цялото ни общество.. Липса на интерес, желание,..

[pal702004]

Твърдя, че максимума се достига когато f(-m)=1, f(0)=-1, f(m)=1.

Стахувам се, че нещата са доста по-сложни. Това решение е "добро", но не е най-доброто. Тук [tex]b=0,c=-1,a=\frac{2}{m^2}[/tex]. И [tex]R=\frac{2}{m^2}+1[/tex]

Например, при [tex]m=2,R=\frac 3 2[/tex]

Но при [tex]m=2,R_{max}=\frac{11}{7}[/tex] при [tex]a=\frac{18}{49},b=\frac{12}{49},c=-\frac{47}{49}[/tex]
Графика
По-скоро може да се твърди, че максимума се достига при [tex]f(m)=1,f(-\frac{b}{2a})=-1[/tex], което не е достатъчно за еднозначно определяне на коефициентите, доста гадна задача.

Жалко е наистина, ако е вярно, че само 2-3% от учениците могат да я разберат

Дано поне авторите са между тези 2-3%.

[pal702004]

В общи линии след дълги сметки, при [tex]m\ge 1[/tex], отговорът е такъв:

[tex]R=1+\frac{4}{m^2+2m-1}[/tex] при:

[tex]a=\frac{2(m+1)^2}{(m^2+2m-1)^2}[/tex]

[tex]b=\frac{4(m^2-1)}{(m^2+2m-1)^2}[/tex]

[tex]c=-1+\frac{2(m-1)^2}{(m^2+2m-1)^2}[/tex]

Дано авторите са знаели какво дават.

[pal702004]

Извинявам се на авторите на задачата, решаема е. Просто (поне в моето решение) има страшно много хамалщина. Предвид относително простият отговор, възможно е да има елегантно олимпиадно решение.
Както каза Драго, можем да приемем [tex]a \ge 0[/tex]. Тъй като изследваният интервал е симетричен относително OY и ако разгледаме функциите [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] и[tex]g(x)=ax^2-bx+c[/tex], тъй като [tex]g(-x)=f(x)[/tex], можем да приемем, че [tex]b\ge 0[/tex]. Можем да се освободим от модулите и търсим максимума на [tex]a+b-c[/tex], като докажем, че при такива условия [tex]c[/tex] е добре да е отрицателно. Няма да расглеждам и случая, когато върхът на параболата е извън интервала [tex][-m;m][/tex]. Така ограниченията се свежда до:
[tex]f(-\frac{b}{2a})=c-\frac{b^2}{4a} \ge -1[/tex] и [tex]f(m) \le 1[/tex]. Тъй като при тези условия [tex]f(-m)\le f(m)\le 1[/tex] при [tex]m>0[/tex]. Не е трудно да се докаже, че оптимумът е при равенства: Ако върхът на параболата не е на -1, просто можем да намалим [tex]c[/tex], така ще се намали и [tex]f(m)[/tex]. Ако [tex]f(m)<1[/tex], можем да увеличим едновременно [tex]a,b[/tex], без да изменяме съотношението [tex]\frac{b^2}{4a}[/tex] и ще получим по-добър резултат. Така че търсим
[tex]\max (a+b-c)[/tex] при условия [tex]c=\frac{b^2}{4a}-1[/tex] и [tex]am^2+bm-c=1[/tex].
И тук започва хамалщината. Двете условия се свеждат до ([tex]2am+b)^2=8a[/tex]. Преминавам към нова променлива [tex]a=\frac{t^2}{2}[/tex]

[tex]b=2t-mt^2, c=\frac{(mt-2)^2}{2}-1[/tex]. И намиране на максимума на

[tex]R(t)=\frac{t^2}{2}+2t-mt^2-\frac{(mt-2)^2}{2}+1[/tex]

Производни, чудеса и т.н, докато се стигне до отговорите в предишното съобщение. Общо взето, ужас.

[drago]

Явно съм сбъркал в преценката къде е екстремалната ф-я. Без да се направят малко сметки явно не става . Но това прави нещата още по-интересни. И не преигравай толкова , сметките не са чак толкова много, при избора на този план. Нщата не са толкова трудни, може и да има нещо по идейно, не знам...

[Knowledge Greedy]

Обзалагам се, че авторът изобщо не е знаел какво предлага. Задачата е прекопирана от друга подобна на нея, като е направил дефиниционния интервал симетричен спрямо началото и разбира се, имащ нещо общо с годината през която е ставало това.
Оригиналното условие обаче е от Ленинградска олимпиада от 1980 год. Предложена е в книгата "Математически състезания по света" от Данчо Табов и Кирил Банков, без решение там. Ето я.

Да се докаже, че ако неравенството [tex]|ax^2+bx+c|\le 1[/tex] е изпълнено за всяко [tex]x[/tex] от интервала [tex][0;1][/tex], то [tex]|a|+|b|+|c|\le 17[/tex].

[drago]

Обзалагам се, че авторът изобщо не е знаел какво предлага...

Не е сигурно!