Квадратна функция

[kocaka]

Намерете стойностите на параметъра а , при който сумата от кубовете на корените на уравнението 6x^2 + 6(a-1)x - 5a +2a^2= 0 е най-голяма. Моля за подробно решение

[Добромир Глухаров]

[tex]6x^2+6(a-1)x-5a+2a^2=0[/tex]

[tex]z=x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=(1-a)^3-3\cdot\frac{-5a+2a^2}{6}\cdot(1-a)=\\=(1-a)(1-2a+a^2+2,5a-a^2)=(1-a)(1+0,5a)=1-a+0,5a-0,5a^2=\\=\frac{-a^2-a+1}{2}=\frac{1,25-(a+0,5)^2}{2}[/tex]

[tex]max\ z=\frac{1,25}{2}=0,625[/tex] при [tex]a=-0,5[/tex]

[kocaka]

Благодаря Ви много! Ще съм благодарен ако може да решите и тази , защото много ме мъчи: за кои стойности на параметъра а уравнението (а-3)x^4 - 2(3a-4)x^2 + 7a - 6 =0 има:
а)два реални корена
б)четири реални корена
в)няма реални корени

[Добромир Глухаров]

По принцип се разглеждат случаите: [tex]a-3=0;\ D=0;\ D>0;\ D<0[/tex], но при [tex]D>0[/tex] има още подслучаи: [tex]x^2=\frac{3a-4\pm\sqrt{2a^2+3a-2}}{a-3}[/tex] може да бъде положително, отрицателно или нула и съответно уравнението да има различен брой решения.

[Knowledge Greedy]

[tex](a-3)x^4 - 2(3a-4)x^2 + 7a - 6 =0[/tex]

Може де си помогнем и с графика на функция. Така по-нагледно проследяваме различните случаи.
Представяме уравнението така (разделяме неизвестното и параметъра):
[tex](x^4 - 6x^2 + 7)a - 3x^4 +8x^2 - 6 =0[/tex].

[tex]a= \frac{3x^4 -8x^2 + 6}{x^4 - 6x^2 + 7 }[/tex], като тук си даваме сметка, че [tex]x^4 - 6x^2 + 7\ne 0[/tex]
Разглеждаме функцията [tex]f(x)=\frac{3x^4 -8x^2 + 6}{x^4 - 6x^2 + 7 }[/tex] с дефиниционно множество [tex]\forall x,[/tex][tex]x\ne \pm \sqrt{3\pm\sqrt{2}} .[/tex]

Вертикалните асимптоти са [tex]x= -\sqrt{3+\sqrt{2}}, x= -\sqrt{3-\sqrt{2}}, x= \sqrt{3-\sqrt{2}}[/tex] и [tex]x= \sqrt{3+\sqrt{2}}.[/tex]
С граница при [tex]x\rightarrow \infty[/tex] установяваме и хоризонтална асимптота [tex]y=3[/tex] .
А с намерените локални екстремуми
[tex]f_{min}(x)=f(-\sqrt{2})=-2[/tex]
[tex]f_{max}(x)=f(-1)=\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]f_{min}(x)=f(0)=\frac{6}{7 }[/tex]
[tex]f_{max}(x)=f(1)=\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]f_{min}(x)=f(\sqrt{2})=-2[/tex]
и с поведението на функцията (с помощта на първата производна), построяваме графиката.

Параметрично от 4 степен lj.PNG (26.86 KiB) Прегледано 365 пъти

Остава да опишем количеството на решенията, в зависимост от пресичането на графиките на [tex]f(x)=\frac{3x^4 -8x^2 + 6}{x^4 - 6x^2 + 7 }[/tex] (червената крива, която се състои от 5 части) и правата [tex]y=a[/tex] (На чертежа са показани освен асимптотата [tex]y=3[/tex] , още три положения [tex]y=-2[/tex],[tex]y=\frac{6}{7 }[/tex] и [tex]y=1[/tex]- които отговарят на точките на локалните екстремуми).

Така може да направим следните изводи:

при [tex]a\in (-\infty ;-2)[/tex] решенията са [tex]4[/tex];
при [tex]a=-2[/tex] решенията са [tex]2[/tex];
при [tex]a\in \left ( -2 ; \frac{6}{7} \right)[/tex] решения няма ;
при [tex]a=\frac{6}{7}[/tex] решенията са [tex]2[/tex];
при [tex]a\in \left ( \frac{6}{7}; 1\right )[/tex] решенията са [tex]4[/tex];
при [tex]a=1[/tex] решенията са [tex]3[/tex];
при [tex]a\in (1 ;3][/tex] решенията са [tex]2[/tex];
при [tex]a\in (3;+\infty )[/tex] решенията са [tex]4[/tex].