Съществува ли редица?

[drago]

Съществува ли безкрайна редица [tex]n_1,n_2,n_3,\cdots[/tex] от естествени числа, за която [tex]\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{n^2_i}[/tex] е рационално, но [tex]\sum_{i=1}^{\infty}\frac {1}{n_i}[/tex] е ирационално ?

[math10.com]

Или аз не разбирам нещо, или условието не е както трябва.Ако [tex]n[/tex] е естествено , то [tex]\frac{1}{n }[/tex] е рационално.Сумата на рационални числа също е рационално т.е [tex]\sum_{i=1}^{\infty } \frac{1}{n_i }[/tex] няма как да е ирационално число.

[krumbgf]

Е то и[tex]\sum_{n=0}^{\infty } \frac{1}{ n!} = e[/tex]
е сума от рационални числа ама сумата не е рационално

[Knowledge Greedy]

Страхотен въпрос!
Знаем, че [tex]\sum_{k=1}^{ \infty }\frac{1}{ k^2} =\frac{\pi^2 }{6 }[/tex] -ирационално.

Но [tex]\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{ k}[/tex] дивергира към безкрайност.

drago обаче иска нещо друго - ред от първия вид да е сходящ към рационално (примерно някоя геометрична прогресия), а ред от втория вид да е сходящ - с ирационална сума.
Ето този
[tex]\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{k+1}}{ k}=ln2[/tex] е ирационално.
А пък сумата
[tex]\sum_{k=1}^{ \infty }\frac{1}{2^k }[/tex] e рационално.

[drago]

Ето този
[tex]\sum_{k=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{k+1}}{ k}=ln2[/tex] е ирационално.
А пък сумата
[tex]\sum_{k=1}^{ \infty }\frac{1}{2^k }[/tex] e рационално.

Тези два реда не са породени от една и съща редица от ест. числа, да не говорим, че в първия има и отрицателни членове. Значи въпросът е дали има редица от естествени числа, така че като сумираш реципрочните на квадратите им се пол. рац., а като сумираш техните реципрочни- ирационално.

[Knowledge Greedy]

...Тези два реда не са породени от една и съща редица от ест. числа, да не говорим, че ...

О, да. Смятам, че разбрах въпроса - просто споделих примери, за които се сещах в момента.
А за алтерниращия ред е грешка в контекста на това условие.