Задача по геометрия

[LazyWorker]

Окръжност се допира до катетите на правоъгълен триъгълник и до описаната около него окръжност. Да се докаже, че радиусът на тази окръжност е два пъти по - голям то радиуса на окръжността, вписана в триъгълника.

[monika_at]

Ако АВС е равнобедрен правоъгълен, то само тогава този радиус ще е два пъти по-голям от радиуса на вписаната, иначе ще е по-голям от два пъти радиуса на вписаната.

[monika_at]

Ако АВС е равнобедрен правоъгълен, то само тогава този радиус ще е два пъти по-голям от радиуса на вписаната, иначе ще е по-голям от два пъти радиуса на вписаната.

Това, което написах, не е вярно. Ще я помисля по-задълбочено

[monika_at]

Означаваме радиуса на описаната окръжност около правоъгълния триъгълник с [tex]R[/tex], а радиуса на окръжността, допираща се до катетите и до описаната с [tex]x[/tex]. Центърът на последната лежи на ъглополовящата на правия ъгъл и понеже двете окръжности са вътрешнодопиращи се, разстоянието между центровете им [tex]OS=R-x[/tex]

[tex]\Delta STC=>CS=x\sqrt{2}[/tex]

[tex]cos(\beta -45^\circ )=cos\beta cos45^\circ +sin\beta sin45^\circ =\frac{\sqrt{2} }{2 } (cos\beta +sin\beta )[/tex]

Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta OCS[/tex]=>[tex](R-x)^2=R^2+2x^2-2R.x\sqrt{2} .cos(\beta -45^\circ )[/tex]

[tex]R^2-2Rx+x^2=R^2+2x^2-2Rx\sqrt{2} .\frac{\sqrt{2} }{2 } (cos\beta +sin\beta )[/tex]=>

[tex]x=2R(cos\beta +sin\beta -1)[/tex]

[tex]r=\frac{a+b-c}{ 2} =R(cos\beta +sin\beta -1)=>x=2r[/tex]

[LazyWorker]

Благодаря!

[ammen99]

а някой може ли да реши тази задача без тригонометрия(само с материал за 9клас?)