Триъгълник

[monika_at]

Петата Н на височината от върха С в триъгълник АВС дели страната АВ вътрешно в отношение АН:ВН=2:1. Правата, минаваща през центъра на описаната около триъгълник АВС окръжност и през медицентъра на триъгълник ВСН, е успоредна на АВ.

а) Да се намерят косинусите на ъглите на триъгълник АВС.

б) Точка М е среда на АВ и дължините на отсечките АВ, СМ и ВН са съответно първи, втори и n-ти член на една аритметична прогресия. Да се намери n.

Хубава задачка:)

[math10.com]

Хубава е
Да пускам ли решение или да изчакам малко?

Скрит текст: покажи

[tex]cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5} ; cos \beta =\frac{\sqrt{7}}{7} ; cos \gamma =\frac{2\sqrt{70}}{35} ; n=5[/tex]

[monika_at]

Да, това са отговорите. Изчакай:) Нека учениците помислят.

[Knowledge Greedy]

Ще има да чаакатее ученик да ви седне да решава задача...

а) Нека G е медицентърът на [tex]\Delta BCH[/tex] и [tex]OG\cap CH = N[/tex], а точка [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]. Точката [tex]O[/tex] да е центърът на описаната окръжност, а [tex]R[/tex] - нейният радиус.
Да означим още [tex]AB=4x[/tex] и [tex]CH=3h[/tex]. Тогава [tex]MB=3x[/tex].

От условието на задачата и с теоремата на Талес се уверяваме, че [tex]OM=h[/tex],
а
[tex]ON=MH=x[/tex] и [tex]CN=2h[/tex].

Докато чакаме учениците да ни я решат....PNG

От питагоровата теорема за триъгълниците [tex]\Delta OMB[/tex] и [tex]\Delta CON[/tex]
получаваме
[tex]\begin{array}{|l}
(3x)^2+h^2=R^2\\
x^2+(2h)^2=R^2
\end{array}[/tex]

В [tex]\Delta OMB[/tex] - правоъгълен [tex]\angle BOM=\gamma[/tex] и [tex]cos\gamma =\frac{h}{R}=\frac{2\sqrt{70} }{35 }[/tex]

А тъй като от системата сме получили отношението [tex]\frac{h}{x }= \frac{2\sqrt{6} }{3 }[/tex], то от правоъгълните [tex]\Delta AHC[/tex] и [tex]\Delta BHC[/tex] по определението за тангенс намираме

[tex]tg\alpha =\frac{\sqrt{6} }{2 }[/tex] и [tex]tg\beta =\sqrt{6}[/tex],

следователно [tex]cos\beta =\frac{\sqrt{7} }{7 }[/tex] и [tex]cos\alpha =\frac{2\sqrt{5} }{5 }[/tex]

Весели празници

[Knowledge Greedy]

Чертежът не се беше закачил

Докато чакаме учениците да ни я решат....PNG (19.61 KiB) Прегледано 612 пъти

[someone]

а) Използваме стандартни означения за [tex]\alpha, \beta, \gamma, a, b, c, R, O[/tex].
Нека [tex]G[/tex] - медицентърът на [tex]\triangle BCH[/tex], [tex]M[/tex] - среда на [tex]AB[/tex].
По условие [tex]OG||AB => O, G[/tex] са от една и съща полуравнина относно [tex]AB[/tex]
[tex]=> \gamma < 90 ^\circ[/tex].
От условието [tex]H -[/tex] вътрешна за [tex][AB][/tex] следва, че [tex]\alpha < 90^\circ[/tex], [tex]\beta < 90^\circ[/tex].
От [tex]\frac{AH}{BH}=2 => \frac{CH.cotg\alpha}{CH.cotg \beta}=2 => \fbox{tg\beta=2.tg\alpha}[/tex]
От [tex]\triangle AOM => \angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} . 2 \gamma = \gamma, AO=R, OM = R.cos\gamma[/tex]
Нека [tex]N \in AB:[/tex] [tex]GN\bot AB[/tex] .
В [tex]\triangle CHN[/tex], [tex]GN||CH => \frac{GN}{CH} = \frac{NG}{NC}=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]=> GN = \frac{1}{3} CH = \frac{1}{3} AH . tg\alpha = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} AB . tg \alpha = \frac{2}{9} c . tg\alpha[/tex]

От [tex]OG||AB => OM = GN[/tex] (разстоянията от [tex]O[/tex] и [tex]G[/tex] до [tex]AB[/tex] са равни)

[tex]=> R cos\gamma = \frac{2}{9} . 2 R sin\gamma . tg\alpha => 9cotg\gamma = 4 tg\alpha[/tex]

[tex]=> \frac{9}{tg\gamma}=4tg\alpha => \fbox{tg\gamma = \frac{9}{4tg\alpha}}[/tex]

[tex]=> -tg(\alpha+\beta)=\frac{9}{4tg\alpha}[/tex]

[tex]=> -\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha tg\beta}=\frac{9}{4tg\alpha}[/tex]

[tex]=> -\frac{3tg\alpha}{1-2tg^2\alpha}=\frac{9}{4tg\alpha}[/tex]

[tex]=> 12tg^2\alpha = 18tg^2\alpha - 9 => 6tg^2\alpha = 9 => \fbox{tg^2\alpha = \frac{3}{2}}[/tex]

[tex]=> \frac{1-cos^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{3}{2} => \frac{1}{cos^2\alpha} - 1 = \frac{3}{2} => cos^2\alpha = \frac{2}{5} => sin^2\alpha = \frac{3}{5}[/tex]

[tex]=> \fbox{cos\alpha = sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{sqrt{10}}{5}}[/tex], [tex]sin\alpha = sqrt{\frac{3}{5}}[/tex]

[tex]tg^2\beta=4tg^2\alpha=6 => \frac{1-cos^2\beta}{cos^2\beta}=6 => \frac{1}{cos^2\beta}=7 =>cos^2\beta = \frac{1}{7} =>sin^2\beta=\frac{6}{7}[/tex]

[tex]=> \fbox{cos\beta = sqrt{\frac{1}{7}}=\frac{sqrt7}{7}}[/tex], [tex]sin\beta =sqrt{\frac{6}{7}}[/tex]

[tex]cos\gamma = -cos(\alpha+\beta) = sin\alpha sin\beta - cos\alpha cos\beta = sqrt{\frac{18}{35}} - sqrt{\frac{2}{35}}=\frac{3sqrt2-sqrt2}{sqrt{35}}=2sqrt{\frac{2}{35}}[/tex], т.е. [tex]\fbox{cos\gamma=\frac{2sqrt{70}}{35}} => sin^2\gamma=\frac{27}{35}[/tex]

б)
[tex]a_1=AB, a_2=CM, a_n=BH => d=a_2-a_1=CM-AB=m_c-c[/tex]

[tex]a_n=a_1+(n-1)d => BH-AB=(n-1)(m_c-c)[/tex]

[tex]=>\frac{1}{3} c - c = (n-1)(m_c-c) => (1-n)(m_c-c)=\frac{2}{3}c[/tex]

[tex]=>\frac{1}{1-n}=\frac{3}{2}(\frac{m_c}{c} - 1)[/tex]

[tex]\frac{m_c}{c}=\frac{1}{2}sqrt{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{c^2}}=\frac12 sqrt{2(\frac{a}{c})^2 +2(\frac{b}{c})^2 - 1}[/tex]

По синусова теорема
[tex]\frac{a^2}{c^2} = \frac{sin^2\alpha}{sin^2\gamma}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{27}{35}}=\frac{7}{9};[/tex] [tex]\frac{b^2}{c^2} = \frac{sin^2\beta}{sin^2\gamma}=\frac{\frac{6}{7}}{\frac{27}{35}}=\frac{10}{9}[/tex]

[tex]=>\frac{m_c}{c}=\frac{1}{2}sqrt{\frac{2.7}{9}+\frac{2.10}{9}-1}=\frac{1}{2}sqrt{\frac{14+20-9}{9}}=\frac{1}{2}.sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{1.5}{2.3}=\frac{5}{6}[/tex]

[tex]\frac{1}{1-n}=\frac{3}{2}(\frac{5}{6}-1)=\frac{-3.1}{2.6}=\frac{1}{-4}[/tex]

[tex]=>1-n=-4=>\fbox{n=5}[/tex]

Благодаря за хубавата задача, г-жо Симеонова! Вписва се точно в категорията "Приложение на тригонометрията в планиметрията".

[amsara]

Knowledge Greedy, не е съвсем честно обобщението. Има и луди ученици, които през ваканцията поглеждат в сайтa. Но точно с тази задача не се пробвах, не защото не e хубава, напротив. Не и защото е ваканция, а понеже преди време се мъчих над нея дълго време и накрая все пак я докарах. Познах я още с прочитането. Има я между другото качена и на сайта, в една от примерните теми за кандидат-студенти. Просто не ми се търси в момента в коя точно.

И Честита Коледа на всички в мат10!

[math10.com]

Ето и обещаното от мен решение.Малко по-кратко, по-скоро олимпиадно ,от колкото кандидат-студентско.

zad.png (144.83 KiB) Прегледано 586 пъти

Весела Коледа и от мен.

[inveidar]

zzzzz.png (21.66 KiB) Прегледано 560 пъти

Лесно се доказва, че [tex]MN=\frac{1}{3}MB=\frac{1}{3}MC[/tex]. От [tex]\triangle OMC[/tex] получаваме [tex]tg \alpha =\frac{CM}{OM}[/tex] , а от[tex]\triangle OMN[/tex] [tex]tg \beta=\frac{OM}{MN}[/tex]. Умножавайки последните две равенства почленно достигаме до [tex]tg \alpha.tg \beta=\frac{CM}{MN}=3[/tex] (1).
От [tex]\triangle AHC[/tex] и [tex]\triangle HBC[/tex] пък [tex]tg\alpha=\frac{CH}{AH}[/tex] и [tex]tg\beta=\frac{CH}{HB}[/tex], откъдето [tex]\frac{tg\alpha}{tg\beta}=\frac{1}{2}[/tex] (2).Изразяваме [tex]tg\beta[/tex] от (2) и заместваме в (1). Получаваме [tex]tg^2 \alpha=\frac{3}{2}[/tex] , т.е [tex]sin^2 \alpha=\frac{3}{2}cos^2 \alpha[/tex] и от основното тригонометрично тъждество лесно намираме [tex]cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}{5}[/tex]. Аналогично пресмятаме и [tex]cos\beta[/tex]. Косинусът от третия ъгъл пресмятаме както в предишните решения.

[monika_at]

klas11.png (29.92 KiB) Прегледано 556 пъти

Ето го и моето решение. От факта, че [tex]OG||AB[/tex]=>разстоянието от медицентъра до АВ е три пъти по-малко от височината, спусната от С. Но за всеки триъгълник разстоянието от центъра на описаната окръжност до страна е да пъти по-малко от разстоянието от върха, срещулежащ на тази страна до ортоцентъра. Тогава [tex]O, G, D (D-[/tex]ортоцентър) лежат на права, споредна на АВ. В този случай:

[tex]AH=2x. BH=x, CD=2y, DH=HP=y[/tex](симетричната на ортоцентъра спрямо коя да е страна лежи на описаната окръжност.
Прилагаме свойството на пресичащи се хорди. [tex]AH.BH=CH.HP=>2x^2=3y^2=>\frac{x}{ y} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3} }[/tex]
[tex]\Delta AHD=>tg\beta =\frac{2x}{ y} =>tg\beta =\sqrt{6} =>cos\beta =\frac{1}{ \sqrt{7} }[/tex]

[tex]\Delta BHD=>tg\alpha =\frac{x}{y } =>cos\beta =\frac{\sqrt{2} }{ \sqrt{5} }[/tex]

Много се радвам за различните решения, които се предложиха. Тази задача беше под номер 2 от общинския кръг по матемтика за 11 клас, който се проведе на 20 декември в София- град.

[inveidar]

А дали може да видим всичките теми на общинския кръг в София?

[monika_at]

Емо, в училище ги имам всичките, у дома само за 8,10,11 и 12 клас. В РИО ги няма. Като се прибере дъщеря ми, ще я накарам да ги снима и ще ги кача.

[ins-]

http://klasirane.com/OLI.asp тук ги има.