Втори кръг на национална олимпиада, 2010

[mkmarinov]

11-12 клас:
1) Да се реши неравенството: [tex]2^{2ax+1}+2^a \le 2^{ax}+2^{ax+a+1}[/tex], където а е реален параметър.

2) Нека [tex]a_1>1[/tex] и [tex]a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}-1[/tex]. Да се докаже, че
а) редицата [tex](a_n)[/tex] е сходяща и да се намери нейната граница.
б) съществува n, за което [tex]a_{2n} < 1 + \frac{1}{2^{2^n}}[/tex]

3) Дени попълва с ненулево цяло число някой от коефициентите на уравнение от 2010-та степен, след това Вени попълва също с ненулево цяло число друг откоефициентите и т.н., докато бъдат попълнени всичките 2011 коефициента. Дени печели, ако полученото уравнение има целочислен корен, а в противен случай печели Вени. Коя от двете има печеливша стратегия?

[пепсито]

на първата получих:
1) a [tex]\in[/tex] ( -[tex]\infty[/tex] ;-1 ) [tex]\cup[/tex] (0;[tex]\infty[/tex]) x [tex]\in[/tex] [-1/a;1]

2) a=-1 x=1

3) a [tex]\in[/tex] (-1;0) x [tex]\in[/tex] [1;-1/a]

4)a=0 всяко x



за границата на втората зад получих 1

[mkmarinov]

Толкова е .
Аз реших първа и втора а), по втора б) и трета писах...
Само утре да не дадат две геометрии.

[пепсито]

ако някой не го мързи да разпише 2б и 3

[Donatello]

аз пък на първа получих
при [tex]a=-1 , x\ge 1[/tex]
[tex]a=0[/tex],- всяко [tex]x[/tex]
[tex]a \in (-1,0) - x \in [1,-\frac{1}{a } ][/tex]
[tex]a \in (0,+\infty ) - x \in [-\frac{1}{a } ; 1][/tex]
[tex]a \in (-\infty, -1)[/tex] - н.р

[Kiro]

Голям резил ще е този път

[mathinvalidnik]

на първата получих:
1) a [tex]\in[/tex] ( -[tex]\infty[/tex] ;-1 ) [tex]\cup[/tex] (0;[tex]\infty[/tex]) x [tex]\in[/tex] [-1/a;1]

2) a=-1 x=1

3) a [tex]\in[/tex] (-1;0) x [tex]\in[/tex] [1;-1/a]

4)a=0 всяко x



за границата на втората зад получих 1

+1

п.п А на трета според мен Ве ще победи ако слага съшите цифкри като дени само че с орбатен знак и на симетрична позиция.тогава ша има поне 1 нула

[amnesiac]

Не
Дени ще победи
Защото ака Дени е първа и сложи на нечетна степен,а след това на такава каквато Вени слага,накрая ще сложи посл коефициент пред нечетна и пред четна степен и ще нагласи сбора на коеф пред четни и пред нечетни степени ,поне един от тях да не е 0.Тогава ще може в посл ход да сложи такъв коеф,че -1 да е решение
или 1.

[martin123456]

2а)
[tex]a_2=a_1+\frac{1}{a_1}-1 > 1[/tex]. По индукция се вижда [tex]a_n > 1 \forall n[/tex].
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n}-1=\frac{1-a_n}{a_n} < 0[/tex] => [tex]\{a_n\} \downarrow[/tex]
намаляваща и ограничена => сходяща с граница [tex]l[/tex]. заместваме: [tex]l=l+\frac{1}{l}-1[/tex]=>[tex]l=1[/tex].

[mkmarinov]

4) Даден е остроъгълен триъгълник АВС с [tex]cos \angle BAC=\frac{1}{3}[/tex]. BM е медиана [tex]M \in AC[/tex], [tex]CC_1[/tex] е височина, [tex]C_1 \in AB[/tex]. [tex]AD||BM, D \in CC_1[/tex]. [tex]\frac{CC_1}{C_1D}=\frac{2}{1}[/tex]. Колко е [tex]\frac{R}{r}[/tex]?

5) Дадена е оцветена шахматно таблица 2009х2011. Да се намери възможно най-голямото к така, че като се премахнат произволни к клетки и останалите са с равен брой бели и черни, да е възможно останалите да се запълнят с доминота (домино = правоъгълник 2х1).

6) Нека n е естествено число, а f(x) - полином с цели коефициенти. Ако [tex]n/(a-b)[/tex], то f(a), f(b) не са взаимно прости. Да се докаже, че съществува просто число р такова, че [tex]p/f(x)[/tex] за всяко цяло х.

[t1bld]

shit shit aaahh ...нямам думи ... не просто нямам, защо не ги направят задачите по-лесни на областния и не направят местата повече за националното ? какво имат да губят? така задачите са направо полюсни - първия ден лесни, втория трудни. на 9 и 10 ти клас задачите почти еднакви, както и на 11 и 12. Просто задачите втория ден си бяха краен полюс на първия...нямам думи

[mmqu]

Според мен задачите за 11 клас наистина бяха на много високо ниво, но това е така всяка година. Явно целта на комисията е да се класират максимум по 6-7 човека от випуск, което за мен е голяма глупост. Но това, разбира се, си е тяхно право. Все пак ще се радвам, ако някой сподели отговори или решения на задачите от днес.

[Kiro]

Ами тя олимпиадата, кажи речи си е частно състезание за СМГ и НПМГ. То бива бива изхвърляне, ама като тяхното не бива. Имам чувството, че този който дава задачи си избива някакви комплекси от детството. Всички други олимпиади са съобразени с учебния материал, а само по математика ... .

[Николай Каракехайов]

Вие ако видите един областен кръг от 1998 например, сигурно ще си направите ритуално самоубийство.
http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO398.pdf - за справка.

[mmqu]

Ами аз не смятам, че трябва задачите да са такива още на областния кръг. Това са хубави задачи за национално състезание, но не и за такова масова участие като областен кръг на олимпиада. Не смятам, че е редно да се класирам на национална олимпиада по философия без да съм се подготвяла за това изобщо, а да не успявам по математика, след като решавам задачи почти всеки ден. Но явно това не е достатъчно...
Все пак ми е интересно да видя отговори или решения на задачите, така че който има, да ги напише

[mkmarinov]

Проблемът не е в задачите, а по-скоро в преподаваният материал! Дъвкат се едни и същи уравнения и теореми за еквивалентност (които всеки мислещ човек може да си ги изведе сам), но се пропускат цели области на математиката. От първи до 11 клас не съм имал нито един час, в който да ми е преподавана теория на числата (въпреки това сме "решавали" /да се чете - препрочитали авторското решение/ такива задачи на СИП). Графи също. Но пък по три месеца на година се учи каква е вероятността като хвърлиш зар да се падне 6 или какъв е шансът да си носител на ХИВ. На формулите за сбор на аритметична и геометрична прогресия също е обърнато доста време - ние ги дъвкахме горе-долу целия първи срок.
Даваните задачи (на втори кръг) не са толкова трудни, стига да си имаш понятие с какво се сблъскваш. Гледам днес четвъртата задача - добре (въпреки че ми е чудно защо геометрията винаги се решава с материал от поне две години назад). Пета пак не е трудна (чисто логическа задача). Шестата я гледах като теле в железница, споменах майката на Ойлер три пъти и предадох.
Основното лошо е, че математиката е превърната в предмет за зубрене в училище, вместо да се остави човека да се помъчи малко сам (но да се научи да мисли!).

Ники, това което си дал, не е ли от Националният кръг (или тогава той не е бил трети) ?

------------
Относно отговорите: на четвърта задача получавам [tex]\frac{R}{r}=\frac{9\sqrt{33}+33}{32}[/tex], като я решавах три пъти и преписах беловата.
На пета к=3.

[Николай Каракехайов]

Доколкото знам, тогава третият кръг е бил областен. Първият - училищен.

[amnesiac]

ами аз мисля,че не бяха лоши задачи. Наистина бяха твърде трудни втория ден,но можеше да се класира напред.Ако решиш 1,2а и 3 първия ден,което не е трудно, и 4 и 5 втория,което също не е невъзможно ,се класираш.(не че ги реших )Но все пак на националния кръг трябва да се класират 10-на души от випуск...просто не бяха гадни освен 6 ест

[пепсито]

наистина областният кръг на олимпиадата по математика е измежду най-трудните,но все пак от всички тия кръгове целта е да се подберат най-добрите ученици за международната олимпиада.Може би по честно ще е ако се направи отделна олимпиада за математическите гимназии и отделна за соутата и егтата(като състезанието в Ловеч)-така и ние (простосмъртните )ще имаме шанс

за задачите 12 клас на първата за ъгъла получих 45°

[mkmarinov]

Но все пак на националния кръг трябва да се класират 10-на души от випуск...

Защо мислиш така?

[ins-]

Темата е за 1998 година е от тогавашен трети - областен кръг - темата е обща за 9-12 клас.
Преди 2004 г., предполагам, регламента беше - НОМ имаше 4 кръга
1 - училищен - при нас бяха задачи от учебника
2 - общински - задачите бяха от инспекторатите - равносилни или малко по-трудни от сегашния общински кръг
3 - областен - задачите бяха от министерството
4 - национален - формата съвпада със сегашния национален кръг.

Като ученик се явих на областен кръг и ми се падна точно тази тема - учех в СОУ в малък град - задачи 1,2,4,5 бяха по силите ми - за 4 - допусках, че се решава с питагорови тройки, но безкрайното спускане - никога не бях използвал като метод, задачата от функционален анализ - нямах шансове. Това го написах за сравнение на нивото преди и сега - тогава на международната олимпиада България зае второ място след отбора на Иран (Китай не участва).
Искам да спомена и друго - тогава имаше по-малък достъп до специализирана литература и нямаше повсеместно използване на Интернет.

[Baronov]

Смешно ми е да чета как хора, които явно си нямат понятие от математика си изказват мнението за авторите на задачите, които са с дългогодишен опит и с доказани успехи в ръководенето и подготовката на националния ни отбор. Трудността на задачите изглежда подходяща за национална олимпиада (кръгът преди националния, не знам точно как му викат). Не мога да разбера какво искате да ви дадат да решавате. Квадратни уравнения?

6-та я реших за 1 минута. Нека [tex]p_1, p_2....p_N[/tex] са всички прости делители на числата [tex]f(1), f(2).. f(n)[/tex]. Тогава от условието за всяко к имаме, че f(k) се дели на някое от [tex]p_1, p_2....p_N[/tex]. Ако допуснем противното на това, което се иска имаме, че съществуват числа [tex]x_1, x_2... x_N[/tex], такива че [tex]f(x_i)[/tex] не се дели на [tex]p_i[/tex] за всяко i. По Китайската теорема за остатъците избираме х такова, че [tex]x = x_i (mod p_i)[/tex] за всяко i. Тогава, обаче f(x) не се дели на никое от [tex]p_1, p_2... p_N[/tex]. Противоречие.
Горното решение има дребен пропуск, оставям ви да го откриете и поправите

[Mechkov]

Абе за трудността ще кажа, че се надявам на макс 26 - 27 т. в някакъв супер добър случай, в който са решили да ми дадат точки по глупостите дето съм писал по двете геометрии (само геометрията ме прецака, ама ме прецака качествено). Тоест няма да се ходи на 3-ти кръг. За сравнение ще кажа, че по информатика не съм решил и една задача извън състезание след есенните (тоест от около половин година), а се класирах за 3-ти кръг.

[Makelov]

Горното решение има дребен пропуск, оставям ви да го откриете и поправите

Ако някое от 1,2,... n е корен на f всяко просто число ще участва в онова множество. Затова го сменяме с някое сравнимо с него по модул n и понеже ако полиномът е тъждествено 0 сме ок а ако не е има краен брой корени, можем да направим това. За това ли говориш?

[Baronov]

Горното решение има дребен пропуск, оставям ви да го откриете и поправите

Ако някое от 1,2,... n е корен на f всяко просто число ще участва в онова множество. Затова го сменяме с някое сравнимо с него по модул n и понеже ако полиномът е тъждествено 0 сме ок а ако не е има краен брой корени, можем да направим това. За това ли говориш?

Да.