Областен кръг на НОМ, 9 клас, 2010

[rashi101]

http://www.minedu.government.bg/opencms/export/sites/mon/left_menu/olympiad/exams/10_math_obl_den1_9-10kl.pdf
На първа получих [tex]-1+\sqrt{13}[/tex] и [tex]2[/tex]. А на трета все си мисля, че е 31 отговора, но не мога да докажа. Ще прикача файл с чертеж с 31 т.
А вие как се справихте?

[mescalito]

Някой решил ли е 2ра? Два часа се мъчих и накрая предадох

[mimoslav4eto]

За трета ме обърка ето това: "две по две различни". От това си правих изводи, че една от четирите точки на всяка права може да съвпада с друга от същата права, но определено отговора зависи от положението на точките... За втора трябва да се докажат два подобни триъгълника ама май моето доказателство е далеч от истината . Иначе за първа и аз толкова получих !

[rashi101]

За подобните и аз си мислех, но не се сетих как да докажа... А използвахте ли за нещо това, че S е среда на хордата? Аз се сетих само, че OS е перпендикулярно на хордата, ама пак нищо не излезе...

[mimoslav4eto]

Ето, че и Вторият ден мина... Сега ще се чакат резултати, но мен и решенията ме удовлетворяват , които за жалост не намирам ...

[rashi101]

Получих 0,0,1 и 0,0,-1 на четвърта, на пета реших ( или си мисля,че съм решила ) б подточка с подобни триъгълници, на шеста - k=3. Някой да знае как се решава 5а?

[Николай Каракехайов]

Например с много сметки(както аз я реших). Макар че всички изразявания си идват естествено.

[rashi101]

А трета от първи ден как реши? Че тя ми е интересна...
БТВ, кой клас си? 9 или 10? Че като гледам решенията, които даваш, винаги съм те мислела за по-голям...

[martin123456]

5а
от [tex]\Delta PQC \sim \Delta BAC[/tex]=>[tex]\frac{PC}{CQ}=\frac{a}{b}[/tex]=>[tex]PC=ay[/tex], [tex]CQ=by[/tex]
от [tex]CI[/tex] ъглополовяща => [tex]\frac{PI}{IQ}=\frac{a}{b}[/tex]=>[tex]PI=ax[/tex], [tex]IQ=bx[/tex]
нека [tex]IN \bot AC[/tex]. [tex]\Delta PNI \sim \Delta BHC[/tex], където [tex]CH[/tex] е височината към [tex]AB[/tex] => [tex]\frac{r}{ax}=\frac{h}{a}[/tex]. Но [tex]h=\frac{2pr}{c}[/tex]=>[tex]x=\frac{c}{2r}[/tex]. аналогично се намира и [tex]y[/tex]. равенството следва

[rashi101]

Тц, тц, невероятен си Само от любопитство, за колко време я реши?

[Станислав]

По 6-та [tex]k=3[/tex] при четно n, [tex]k=4[/tex] при нечетно n. 5б), която ни съвпада с 9 клас я реших за около 20 мин, но със синусови теореми (от тях се вижда и че са подобни, но просто ме мързеше да пиша 2 доказателства ). Вчера - излагация, днеска - максимален брой точки... Дано вчера да съм хванал към 12,13 точки, че...

[rashi101]

За всяко n ли трябваше да решим 6та? Мислех, че когато питат за най-малката стойност, имат пред вид просто за някакво n, няма значение какво... Значи още по-малко точки... Ама какво ли се тревожа, и без това нямам никакви шансове да продължа Иначе стискам палци на всички

[Станислав]

N ти е фиксирано и се търси k. Логично е да се гледа k като функция на [tex]n[/tex]. Най-малкото в другия случай задачата е повече от тривиална - умножаваш по 4. Някак си ми се струва, че 6зад. няма да е чак толкова елементарна...

[rashi101]

Знам, че така става лесна, но нали все пак е областен кръг. И извинявай за глупавия въпрос, но... какво умножаваш по 4?

[Станислав]

[tex]7.2^n =a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2\Rightarrow 7.2^{n+2}=(2a_1)^2+(2a_2)^2+\cdots+(2a_k)^2[/tex]

[rashi101]

Ясно А аз просто доказах, че е невъзможно k да е равно на 1 или 2, и дадох пример за k=3. Както казах, явно не съм разбрала правилно условието. Впрочем, като ни видиш четвърта задача, можеш да разбереш защо не се учудих, че шеста ми се струва твърде лесна

[vicho]

Кажете, моля ви, дали на пета за 12 клас ще приемат това решение:
Нека P(x) e полином от трета степен, на който едниният корен е 0, а другите два са противоположни реални числа.
P(x) може да се запише така:
P(x)=x(x-a)(x+a)=x^3 -(a^2)x
Нулите му са:
x1=0 x2=-a x3=a
Производната е:
P'(x)=3x^2 - a^2
Нейните нули са:
x4=-sqrt(a/3) x5=sqrt(a/3) (sqrt() е квадратен корен от число)
От свойството на аритметичната прогресия получавам:

(a+0)/2=sqrt(a/3)
a=2sqrt(a/3)
a^2=4a/3
a=4/3

С това а полиномът P(x)=x^3 - (16/9)x изпълнява условието.


Обаче това е частен случай, за него могат ли да ми дадат пълен брой точки??

[Makelov]

По принцип ако дадеш пример за полином който изпълнява условието, което се опитваш, ще си решил задачата и отговорът ще е "могат". Обаче си объркал корените на производната и приведеният пример е грешен.
Какъвто би бил и всеки друг, понеже без ограничение старшия коефициент е 1 и тогава производната може да се запише като (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a). Нататък, ако допуснеш че някои четири от петте числа образуват аритметична прогресия, след малко преобразувания с виет, в корените на производната горната сума се оказва пропорционална на квадрата на най-малкото от четирите разстояния между петте числа и трябва да е равна на нула, т.е. всъщност различните числа са ти най-много 3, противоречие.

[mimoslav4eto]

Вече има качени и решения Решения! Поне аз не съм много доволен от това, което явно съм решил. Очаква се да събера около 20 и няколко точки ама не стигат... Става така, че втория ден съм се справил по-добре от първия

[Станислав]

Аз пък съм абсолютно на кантар, ноо най-вероятно няма да ходя. Втори ден - 21, първи - 10...

[rashi101]

Вече има качени и решения Решения! Поне аз не съм много доволен от това, което явно съм решил. Очаква се да събера около 20 и няколко точки ама не стигат... Става така, че втория ден съм се справил по-добре от първия

И при мен е същото Двадесет и две-три точки си давам...