64. Национална - II кръг

[Zarrie]

[pal702004]

Тя сега ли се провежда, Zarrie?

[Zarrie]

Не, започнахме в 9 часа и свършихме в 1:30. Не бих я публикувал преди окончателното приключване

[pal702004]

Да, Zarrie. Попитах, защото третата я решавах в "Лично съобщение" тук - на форума. Аз съм си виновен. Все пак комуникацията беше доста след 1:30, искрено се надявам да е било от чисто любопитство, макар някои неща да ме притесняват.

[ptj]

[tex]sinx-siny + cosx+cosy=2[/tex]

[tex]2cos{\frac{x+y}{2 }}(sin{\frac{x-y}{2 }}+cos{\frac{x-y}{2 }} )=2[/tex]

[tex]\sqrt{2}cos{\frac{x+y}{2 }}cos{(\frac{\pi }{4 } -\frac{x-y}{2 })} =1[/tex]

[tex]\frac{1}{2 }\big(cos(y+\frac{\pi }{4 } )+cos(x-\frac{\pi }{4 })\big)=\frac{1}{\sqrt{2} }[/tex]

[tex]cos(y+\frac{\pi }{4 } )+cos(x-\frac{\pi }{4 })=\sqrt{2}[/tex]

От последното може да кажем, че [tex](0;0)[/tex], [tex](\frac{\pi }{2 };0)[/tex] са решения...

[tex]sinx+cosy - (sinx .cosy- cosx.siny)= cosx-siny+sinxcosy-cosxsiny[/tex]

[Zarrie]

Предполагам е от любопитство. И на мен 2-3 пъти са ми писали на лично и обяснението беше, че подбора е по-най-голяма активност. Явно са ти писали с надеждата да им решиш задачата бързо и подробно. В крайна сметка здраве да е!

[Zarrie]

ptj, не разполагахме със справочници, защото твърдяха, че нямаме право да ги ползваме и това беше варианта, който щях да приложа, ако разполагах с формули, но се чудех дали не може да се разгледа като две системи равни на единица и да се търсят общите решения? Дали няма да е по-удобно? Благодаря ти за решението , което си предложил!

[ptj]

И по-рано беше така - не се разрешаваше никаква помощна литература, но за сметка на това можеше да ползваш аболютно всичко, което някой някога е доказъл.

Решението ми е непълно. Иначе отговорите са само тези, които съм посочил. Евентуално, ако се сещате начин по който да докажете, че те са само 2 могат да ви признаят подобно решение за пълно.

Другото, което получих е:

[tex]sin (y+\frac{\pi }{4 } )+sin (x-\frac{\pi }{4 })=\sqrt{2}sin(x-y)[/tex]

[pal702004]

Беше бързо, но не беше подробно - както и да е, разбрахме се с човека, че е било след олимпиадата. И наистина беше така, съдейки по часовете. Изразих съмнение публично - следва публично да ги разсея. Ето решението ми на 3-та задача, отгоре-отгоре:
Всъщност няма необходимост [tex]\alpha,\beta[/tex] да са рационални, достатъчно е да са реални. Може да се докаже по индукция по броят на елементите. За [tex]n=1[/tex] - един елемент, твърдението е очевидно - той е равен на 1. По-интересен е индукциoнният преход, от [tex]k-1[/tex] към [tex]k[/tex]
Ако всички елементи са единици е тривиално. В противен случай има поне един елемент, по-голям от 1 и поне един елемент, по-малък от 1. Нека [tex]a_1<1,\;a_2>1[/tex]
Да запишем условието, както при [tex]k-1[/tex] елемента:
[tex](a_1a_2)a_3\cdots a_k=1[/tex] - приемаме [tex]a_1a_2[/tex] за един елемент, така имаме [tex]k-1[/tex] елемента с произведение 1, за които е вярно

[tex](a_1a_2)^{\alpha}+a_3^{\alpha}+\cdots+a_k^{\alpha} \ge (a_1a_2)^{\beta}+a_3^{\beta}+\cdots+a_k^{\beta}[/tex]

Сега остава да докажем следното:
[tex]a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}-(a_1a_2)^{\alpha} \ge a_1^{\beta}+a_2^{\beta}-(a_1a_2)^{\beta}[/tex]

Преписваме го в следният вид:
[tex](1-a_1^{\alpha})(a_2^{\alpha}-1) \ge (1-a_1^{\beta})(a_2^{\beta}-1)[/tex]

и като имаме предвид, че [tex]a_1<1,\;a_2>1,\; \alpha>\beta>0[/tex] доказваме, че всеки множител в лявата част е по-голям от сътветният в дясната

[pal702004]

Обобщението на 3-та задача, която направи ptj за произведение, по-голямо от 1 е вярно:

Ако [tex]a_1a_2\cdots a_n=p>1[/tex] и [tex]\alpha>\beta>0[/tex], то [tex]a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}+\cdots+a_n^{\alpha}>a_1^{\beta}+a_2^{\beta}+\cdots+a_n^{\beta}[/tex]

Нека [tex]p=t^n,\;t>1[/tex]. От доказаният случай за произведение 1 имаме

[tex]\left(\frac{a_1}{t}\right)^{\alpha}+\left(\frac{a_2}{t}\right)^{\alpha}+\cdots+\left(\frac{a_n}{t}\right)^{\alpha} \ge \left(\frac{a_1}{t}\right)^{\beta}+\left(\frac{a_2}{t}\right)^{\beta}+\cdots+\left(\frac{a_n}{t}\right)^{\beta}[/tex]

Уножавайки двете страни на [tex]t^{\alpha}[/tex] получаваме

[tex]a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}+\cdots+a_n^{\alpha}\ge t^{\alpha-\beta}\left(a_1^{\beta}+a_2^{\beta}+\cdots+a_n^{\beta}\right)[/tex]

[ptj]

Не ми беше издържано доказателството, а и времето ми бе ограничено и затова си изтрих мнението.

[ptj]

1-ва:
[tex](sin{x}+cos{y})(cos{x}-sin{y})=1-sin^2(x-y)[/tex]

[tex]sin{x}cos{x}-sin{y}cos{y}+cos{x}cos{y}-sin{x}sin{y}=(1+sin(x-y))(1-sin(x-y))[/tex]

[tex]\frac{1}{2 }(sin(2x)-sin(2y))+cos(x+y)=(1+sin(x-y))(1-sin(x-y))[/tex]

[tex]cos(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)=(1+sin(x-y))(1-sin(x-y))[/tex]

(1): [tex](1+sin(x-y))cos(x+y)=(1+sin(x-y))(1-sin(x-y))[/tex]

От [tex]sin (y+\frac{\pi }{4 } )+sin (x-\frac{\pi }{4 })=\sqrt{2}sin(x-y)[/tex] следва,

че [tex]sin(x-y)\ge 0[/tex] ([tex]x \ge y[/tex], при аргумент от 0 до [tex]\frac{\pi }{2 }[/tex] на по-голям ъгъл съответсва по-голям синус)

Тогава (1)[tex]\Leftrightarrow cos(x+y)=1-sin(x-y)[/tex]

...

[ptj]

Продължение:

Връщаме се във 2-рото уравнение от условието:

[tex]cos{x}-sin{y}=cos(x-y)[/tex]

[tex]cos{x}-cos(x-y)=sin{y}[/tex]

[tex]-2sin(x-\frac{y}{2 })sin(\frac{-y}{2 })=2sin(\frac{y}{2 } )cos(\frac{y}{2 } )[/tex]

[tex]sin(\frac{y}{2 })\bigg(sin(x-\frac{y}{2 })- cos(\frac{y}{2 } ) \bigg)=0[/tex]

[tex]y=0[/tex] или [tex]sin(\frac{\pi }{2 }-\frac{y}{2 })= sin(x-\frac{y}{2 }) \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2 }[/tex]

Замествайки полученото в последния вариант на (1) намираме, че решения са само [tex](0;0)[/tex] и [tex](\frac{\pi }{2 };0 )[/tex]

П.П. Ако и авторовото решение е толкова дълго и сложно, задачата е прекалено трудоемка за областен кръг на олимпиадата.

[Zarrie]

Дали някой може да ми даде насоки, или ако прояви желание да реши 2 задача, защото тя ми е много интересна.

[ptj]

Прекарай през т.[tex]D[/tex] права успоредна на [tex]BC[/tex].
Пресечената и точка с [tex]AB[/tex] означи с [tex]M[/tex].
3-те ъгъла при върха [tex]D[/tex] с [tex]z;x;y[/tex].

[tex]z+y=\alpha+\beta \Leftrightarrow z=y-(\alpha+\beta)[/tex]

[tex](x+y)-(x+z)=2(\alpha-\beta)[/tex]

[tex]y-z=2(\alpha-\beta)[/tex]

[tex]y-(y-(\alpha+\beta))=2(\alpha-\beta)[/tex]

[tex]\beta=3\alpha[/tex]
...

[pipi langstrump]

Дали някой може да ми даде насоки, или ако прояви желание да реши 2 задача, защото тя ми е много интересна.

Ползвай, че Sabcd = Sabd + Sbcd = Sacd + Sabc

[ptj]

Задачата е свръх лесна.

Ъглите са [tex]30^\circ ,90^\circ ,60^\circ,120^\circ[/tex].
1. Доказвате, че построението в условието на задачата дава само едно решение.
2. Показвате, че четириъгълник с така намерените ъгли изпълнява условието.

П.П. Нормално е да предположите, че [tex]\sqrt{3}=2.\frac{\sqrt{3} }{2 }[/tex], т.е. някъде има ъгъл или 30° или 60°.