Интересна теория на числата

[georgi111]

Дадена е функцията [tex]\gamma(n):N\rightarrow N[/tex]([tex]N[/tex]-множеството на целите положителни числа), дефинирана така: [tex]\gamma(n)=\sum\limits_{k=1}^n (k,n), \forall n \in N[/tex], където с [tex](k,n)[/tex] е означен най-големия общ делител на [tex]k[/tex] и [tex]n[/tex]. Да се докаже, че:
а) [tex]\psi(mn)=\psi(m)\psi(n)[/tex], [tex]\forall m,n \in N[/tex], такива че [tex](m,n)=1[/tex]
б) Да се докаже, че [tex]\forall n \in N[/tex], уравнението [tex]\psi(x)=nx[/tex] има решение в цели положителни числа
в) Намерете всички [tex]n \in N[/tex], такива че уравнението [tex]\psi(x)=nx[/tex] има единствено решение в цели положителни числа

[ptj]

За а.) използвай: [tex](m;m+k)=(m;k)[/tex]

(1) [tex]\varphi (p)=2p[/tex] , където [tex]p[/tex] е произволно просто число

(2) [tex]\varphi (p^s)=(2p)^s[/tex] ( с индукция по [tex]s[/tex] или преброяване)

(3) [tex]\varphi (m.p^s)=\varphi (m).(2p)^s[/tex], където [tex](m;p)=1[/tex]

От единствеността (с точност до реда на множителите) на каноничното разлагане на [tex]mn[/tex] на прости множители, прилагайки (3) се стига до исканото в "а.)"

П.П. Може и директно с критерия:

[tex]f(n)[/tex] е мултипликативна тогава и само тогава, когато и

е мултипликативна функция.

По-рано на състезания имаше право да ползваш наготово (без доказателства) абсолютно всички теореми от коя да е област на математиката.