Национално състезание по математика 2015

[Zarrie]

Задачи от националното състезание по математика за ученици от профилирани гимназии и паралелки на СОУ с чуждоезиков профил. Ловеч - 2015
Тема за дванадесети клас
[tex]1)[/tex]числата : [tex]a_{1},a_{2},...,a_{2n}, n \ge 1,[/tex]образуват геометрична прогресия с частно, различно от 1. Намерете произведението на числата, ако сборът им е равен на 12, а сборът от реципрочните им е равен на 24.
[tex]2)Нека \alpha, \beta и \gamma[/tex]са ъгли на триъгълник, такива че [tex]tg \alpha + cotg \beta = 2, tg\gamma =\frac{1}{2}[/tex]Намерете ъгъл [tex]\alpha[/tex]
[tex]3)[/tex] Намерете най-малката стойност на функцията
[tex]f(x) = (2sinx +3cosx-7)(2sinx-3cosx-7)[/tex]
[tex]4)[/tex] Дадена е правилна четириъгълна призма [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с основен ръб AB = 2 и околен ръб [tex]АА_{1}=4.[/tex] Намерете лицето на сечението на призмата с равнина [tex]\gamma[/tex] през върха В, перпендикулярна на диагонала [tex]CA_{1}[/tex]
[tex]5)[/tex]Всеки диагонал на един изпъкнал петоъгълник отсича от него триъгълник с лице 1. Да се намери лицето на петоъгълника.
[tex]6)[/tex]Нека[tex]f(x)=ax^2 +bx+c,[/tex] където [tex]a \neq 0,b,c \in \Re[/tex] , да се пресметне [tex]f(1009)[/tex], ако [tex]f(2)=f(1)=1[/tex] и уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има рационален коефициент.

[Zarrie]

Задачи от националното състезание по математика за ученици от профилирани гимназии и паралелки на СОУ с чуждоезиков профил. Ловеч - 2015
Тема за дванадесети клас
[tex]1)[/tex]числата : [tex]a_{1},a_{2},...,a_{2n}, n \ge 1,[/tex]образуват геометрична прогресия с частно, различно от 1. Намерете произведението на числата, ако сборът им е равен на 12, а сборът от реципрочните им е равен на 24.
[tex]2)Нека \alpha, \beta и \gamma[/tex]са ъгли на триъгълник, такива че [tex]tg \alpha + cotg \beta = 2, tg\gamma =\frac{1}{2}[/tex]Намерете ъгъл [tex]\alpha[/tex]
[tex]3)[/tex] Намерете най-малката стойност на функцията
[tex]f(x) = (2sinx +3cosx-7)(2sinx-3cosx-7)[/tex]
[tex]4)[/tex] Дадена е правилна четириъгълна призма [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с основен ръб AB = 2 и околен ръб [tex]АА_{1}=4.[/tex] Намерете лицето на сечението на призмата с равнина [tex]\gamma[/tex] през върха В, перпендикулярна на диагонала [tex]CA_{1}[/tex]
[tex]5)[/tex]Всеки диагонал на един изпъкнал петоъгълник отсича от него триъгълник с лице 1. Да се намери лицето на петоъгълника.
[tex]6)[/tex]Нека[tex]f(x)=ax^2 +bx+c,[/tex] където [tex]a \neq 0,b,c \in \Re[/tex] , да се пресметне [tex]f(1009)[/tex], ако [tex]f(2)=f(1)=1[/tex] и уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има рационален корен.

поправка в последната задача - извинявам се за грешката!

[pal702004]

То ясно че става въпрос за рационален корен, Zarrie, но пак има нещо недоуточнено:
Първите две условия определят функцията като [tex]f(x)=ax^2-3ax+2a+1[/tex]. Тъй като[tex]f(x)=0[/tex] има рационален корен, то другият също е рационален, понеже по Виет:
[tex]\\x_1+x_2=3\\
x_1x_2=\frac{2a+1}{a}[/tex]

тоест, [tex]a \in \mathbb{Q}[/tex]

Без да навлизам в подробности, уравнението ще има рационални корени при [tex]a=\frac{(t+1)^2}{t}\;\forall t \ne 0 \in \mathbb{Q}[/tex]. И корените са

[tex]x_1=\frac{2t+1}{t+1},\;x_2=\frac{t+2}{t+1}[/tex]

Так че не може да се изчисли еднозначно [tex]f(1009)[/tex] при тези условия. Ако са имали предвид да се изрази f(1009) чрез този рационален корен - това е друга песен, но не е това начина. Ще си препроверя решението де...

И Zarrie, забелязвам, че няколко пъти използваш \Re вместо R за множеството на реалните числа . \Re, \Im са функции, свързани с комплексни числа. Пиши просто R или \mathbb{R}. [tex]a \in \mathbb{R}[/tex]

[Zarrie]

Благодаря за уточнението относно квантора за реални числа. Търсих го в гугъл и там го намерих като символ за множеството на реалните числа и реших да го използвам, защото ми се видя симпатичен
Относно задачата - преписах дословно условието
Тъй като 2 и 1 са корени на уравнението [tex]f(x) -1=0[/tex], от формулите на Виет намираме [tex]b=-3a,c=2a+1[/tex]т.е. [tex]f(x)=ax^2-3ax+2a+1[/tex]. Понеже f(x)=0 има рационален корен, то дискриминантата му е точен квадрат на цяло число у, т.е. [tex]a^2 -4a-y^2=0[/tex]. Сега а се оказва цял корен на квадратен тричлен с цели коефициенти и следователно неговата дискриминанта е също квадрат на цяло число z, т.е. [tex]4+y^2 =z^2[/tex] или
[tex]z^2-y^2=4[/tex]. Последното уравнение има решения [tex]y=0[/tex],[tex]z=\pm2[/tex] и следователно а=4,b=-12,c=9. Тогава [tex]f(x)=4x^2 -12x+9=(2x-3)^2[/tex] и следователно [tex]f(1009)=2015^2[/tex]

[ptj]

Zarrie,

Ако си спомняш преди седмица питаше за една задача, свързана с интерполационния полином на Лагранж.

Конкретно за 6-та задача: Понеже дадения полином e от 2-ра степен и е определен еднозначно посредством стойностите си в 3 точки, то можеш да разпишеш формулата на Лагранж за него и да намериш директно стойностите на [tex]a,b,c[/tex].

[Zarrie]

Ами, да, спомням си, но поне на този етап не съм учил за интерполационни полиноми и методи, а само съм чувал за имената Гаус и Лагранж, затова даже не разбрах за какво става дума тогава...
Жалко, че не прегледах материала, когато говорихме за това в темата, можеше да получа максимален брой точки на състезанието

[pal702004]

Понеже f(x)=0 има рационален корен, то дискриминантата му е точен квадрат на цяло число у

Ай ай ай. Дискриминантата му е квадрат на рационално число. И за дискриминантата става:

[tex]a^2-4a=d^2, \quad a,d \in \mathbb{Q}[/tex]
[tex](a-2)^2-d^2=4[/tex]

И рационална параметризация:
[tex]a-2+d=2t,\;a-2-d=\frac{2}{t}\;\Rightarrow\;a=\frac{(t+1)^2}{t},\;d=\frac{t^2-1}{t}[/tex]

Неколко примера:
[tex]\\a=9/2,\; 9x^2-27x+20=0,\;x_1=4/3,x_2=5/3\\
\\a=16/3,\; 16x^2-48x+35=0,\;x_1=5/4,x_2=7/4[/tex]

и т.н и т.н

[Zarrie]

Еее pal, тук цитирах доц. Симеон Замковой поправяш него, не мен. Точно така пише - 4 пъти проверих.

[pal702004]

Еее pal, тук цитирах доц. Симеон Замковой поправяш него, не мен. Точно така пише - 4 пъти проверих.

А провери ли стойностите на a, които ти написах? Иначе, бих поправил всеки, който греши.

[math10.com]

Zarrie
Със сигурност , ако търсим рационални корени на квадратно уравнение с реални коефициенти е необходимо дискриминантата да е точен квадрат на рационално число.Въобще не е задължително да е на цяло число.Друг е въпроса ,че при уравнения може да умножим с подходящ коефициент , така че същата тази дискриминанта да стане квадрат на цяло число.В темата която си чел от доцент Симеон Замковой може би става въпрос за уравнения с цели коефициенти и тогава условието ,дискриминантата да е точен квадрат на цяло число е необходимо.

[pal702004]

Да, или задачата става коректна, ако условието е че уравнението има цял корен. При [tex]a=-\frac 1 2[/tex]
[tex]f(x)=-\frac 1 2 x^2+\frac 3 2 x[/tex]

Ето сега аз греша - при безкрайно много a ще има цял корен

[inveidar]

Съжалявам да го кажа, но доцент Замкововй в случая е абсолютно прав, защото в условието на задачата изрично е казано, че коефициентите са цели числа.

[pal702004]

Съжалявам да го кажа, но доцент Замкововй в случая е абсолютно прав, защото в условието на задачата изрично е казано, че коефициентите са цели числа.

Значи всичко е ОК, недоразумението е изгладено, в такъв вид задачата е коректна.

[drago]

За тази задача няма нужда човек да знае формулата за решения на кв. у-ние, дискриминанти и т.н.
Ако образуваме [tex]g(x) := f(x)-1[/tex] , то имаме: [tex]g(1)=g(2)=0[/tex], т.е. [tex]g(x)=a(x-1)(x-2)[/tex], където [tex]a[/tex] е цяло. Значи [tex]f(x)=a(x-1)(x-2)+1[/tex]. Остава да намерим [tex]a[/tex].
По-нататък: има рационално [tex]y_0[/tex], за което [tex]y_0 (y_0-1)=-1/a[/tex]. Нека [tex]y_0=p/q[/tex], където [tex]p,q[/tex] са цели числа и нека [tex](p,q) =1, p\geq 0, q\neq 0[/tex]. Имаме:

[tex]\frac{p(p-q)}{q^2}=-1/a[/tex]

Тук задължително трябва [tex]p=1[/tex], тъй като при [tex]p>1[/tex], няма как [tex]p[/tex] да се съкрати с нещо от знаменателя(понеже [tex](p,q)=1[/tex] ), за да стане резултата с числител 1. Продължаваме:

[tex]\frac{q-1}{q^2}=\frac{1}{a}[/tex]

тъй като [tex](q-1,q)=1[/tex] , единствената възможност да се съкрати числителя на лявата страна е [tex]q-1=\pm 1[/tex] и тъй като [tex]q\neq 0[/tex] получаваме [tex]q=2[/tex] , което означава [tex]\boxed{a=4}[/tex].