Безкрайна числова редица

[inveidar]

Дадена е безкрайна числова редица, за която е изпълнено [tex]x_1=a, x_2=b, x_n=\frac{{x_{n-1}}^2+{x_{n-2}}^2}{x_{n-1}+x_{n-2}} \quad \forall n \geq 3.[/tex] Ако [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са взаимно прости цели числа, по-големи от 1, да се докаже, че [tex]x_n[/tex] не е цяло число за всяко [tex]n\ge3[/tex].

[ptj]

[tex]x_n=x_{n-1}+x_{n-2}-2\frac{x_{n-1}x_{n-2}}{x_{n-1}+x_{n-2}}[/tex]

Ако [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex] са цели и взаимно прости помежду си, то очевидно [tex]x_n[/tex] е взаимно просто с всяко едно от тях, сл. не е цяло.

Остава да се изхитрим да приложим подобна хипотеза за рационални [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex], т.е. да докажем задачата с индукция.

Нека [tex]x_{n-1}=\frac{p_1}{q_1}[/tex] и [tex]x_{n-2}=\frac{q_2}{p_2}[/tex],
където:
(1)[tex]p_1,p_2,q_1,q_2 \in N[/tex] ,
(2)[tex](p_1;q_1)=1; (p_2;q_2)=1[/tex] ,
(3)[tex](p_2q_1+p_1q_2;p_1p_2q_1q_2)=1[/tex].

[tex]x_n=\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}-2 \frac{\frac{p_1}{q_1}\frac{p_2}{q_2}}{\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}}=
\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}-2\frac{p_1p_2}{p_1q_2+p_2q_1}=[/tex]

[tex]=\frac{(p_1q_2+p_2q_1)}{q_1q_2}-2\frac{p_1p_2}{p_1q_2+p_2q_1}=

\frac{(p_1q_2+p_2q_1)^2-2p_1q_1p_2q_2}{(p_1q_2+p_2q_1)q_1q_2}[/tex]

Очевидно [tex]x_n[/tex] не е цяло ( [tex]q_1q_2[/tex] и [tex](p_1q_2+p_2q_1)[/tex] са взаимно прости с числителя), т.е. доказахме (1) и (2) за [tex]x_n[/tex].
(*) 2 е просто число и по тази причина може да бъде делител най-много на едно от числата [tex]p_1,q_1,p_2,q_2[/tex].

Остава да докажем (3), т.е. че
[tex]\bigg((p_1q_2+p_2q_1)^2-2p_1q_1p_2q_2\bigg).q_2+p_2.\bigg((p_1q_2+p_2q_1)q_1q_2\bigg)[/tex]

и [tex]p_2q_2\bigg((p_1q_2+p_2q_1)^2-2p_1q_1p_2q_2\bigg)\bigg((p_1q_2+p_2q_1)q_1q_2\bigg)[/tex] са взаимно прости, което очевидно съгласно доказаното в (2).

Всъщност доказохме, че ако (1),(2),(3) са изпълнени за [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex], то те са верни съответно и за [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_n[/tex].

Лесно се проверява, че (1),(2),(3) са изпълнени за [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], a тогава съгласно ПМО са верни за произволни 2 последователни члена на редицата.

В частност (2) е изпълнено за произволно [tex]x_n[/tex],
a при [tex]n\ge3[/tex] съответния знаменател е по-голям от 1,
т.е. самото [tex]x_n[/tex] не е цяло.

П.П. Съмнявам се авторовото решение да е толкова "завързано".

[ptj]

Tехническа грешка : [tex]x_{n-2}=\frac{p_2}{q_2}[/tex]

[inveidar]

[tex]x_n=x_{n-1}+x_{n-2}-2\frac{x_{n-1}x_{n-2}}{x_{n-1}+x_{n-2}}[/tex]

Ако [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex] са цели и взаимно прости помежду си, то очевидно [tex]x_n[/tex] е взаимно просто с всяко едно от тях, сл. не е цяло.

Остава да се изхитрим да приложим подобна хипотеза за рационални [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex], т.е. да докажем задачата с индукция.

Нека [tex]x_{n-1}=\frac{p_1}{q_1}[/tex] и [tex]x_{n-2}=\frac{q_2}{p_2}[/tex],
където:
(1)[tex]p_1,p_2,q_1,q_2 \in N[/tex] ,
(2)[tex](p_1;q_1)=1; (p_2;q_2)=1[/tex] ,
(3)[tex](p_2q_1+p_1q_2;p_1p_2q_1q_2)=1[/tex].

Оцветеното в червено не е вярно!

[ptj]

[tex](а.1+b.1;a.b.1.1)=1[/tex] защото [tex](a;b)=1[/tex]

За останалите съм го доказал.

П.П. Червения цвят го ползвай в училище...

[inveidar]

Виж сега [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] могат да имат общ делител, нали? Ами хайде тогава ми обясни той не е ли общ делител и на двата израза? Или ми обясни защо [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] не могат да имат общ делител.

[ptj]

Ти сляп ли си???

[tex]1.а+b.1=a+b[/tex]

[tex]a.b.1.1.=a.b[/tex]


Горните 2 числа са ВЗАИМНО ПРОСТИ, т.е. нямат друг общ делител освен 1.

[ptj]

Виж сега [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] могат да имат общ делител, нали? Ами хайде тогава ми обясни той не е ли общ делител и на двата израза? Или ми обясни защо [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] не могат да имат общ делител.

Не, не могат да имат общ делител различен от 1.

За първите 2 члена на редицата знаменателите са 1-ци ([tex]q_1,q_2)[/tex].

За останалите двойки последователни членове- виж доказателството.

Още нещо - за в бъдеще по-добре не публикувай задачи, чието решение или доказателство не можеш да направиш сам.
Имаш се за голяма работа, водач на отбор си, а се дъниш като някой първолак...

[inveidar]

Виж сега [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] могат да имат общ делител, нали? Ами хайде тогава ми обясни той не е ли общ делител и на двата израза? Или ми обясни защо [tex]q_1[/tex] и [tex]q_2[/tex] не могат да имат общ делител.

Не, не могат да имат общ делител различен от 1.

За първите 2 члена на редицата знаменателите са 1-ци ([tex]q_1,q_2)[/tex].

За останалите двойки последователни членове- виж доказателството.

Още нещо - за в бъдеще по-добре не публикувай задачи, чието решение или доказателство не можеш да направиш сам.
Имаш се за голяма работа, водач на отбор си, а се дъниш като някой първолак...

Остави личните нападки за друг път. Ти нали допускаш, че [tex]x_{n-1}[/tex] и [tex]x_{n-2}[/tex] са рационални. Питам те защо реши, че знаменателите им са взаимнопрости? Трябва да поясниш, че за а и b е ясно, че знаменателите и числителите им са взаимно прости. Това е важно и не би трябвало да се пропуска в доказателството! И забележи, че съм написал и числителите. И това трябва да отбележиш, за да е вярно оцветеното в червено. Що проверяващият трябва да се досеща? Тези неща трябва да ги включиш като (4) и (5) (или в някакъв друг ред, защото без тях (3) не е вярно) в началото на доказателството си и после накрая да ги докажеш. Изчисти ги тези неща и тогава можеш да говориш за пълно решение.
А за личните нападки този път ще се въздържа.
За задачата. Тя не е моя и е от контролно за МОМ, проведено в Молдова през 2011 година. В последният брой на списание CRUX (което, ако си по-вежлив, мога и да ти изпратя) я има и никой не е изпратил решение. Стори ми се интересна и затова я публикувах. Има я пусната и във Mathlinks.ro, можеш да я потърсиш. И защо, по дяволите, трябва да публикувам непременно задачи, които мога да реша?! Това от какъв зор?

[ptj]

О.К. Дължа ти ИЗВИНЕНИЯ.
(Ядосаха ме глупавите въпроси).

Сега за самата задача:

В началото написах идеята за цели, защото по нея лесно се вижда, че [tex]а_3[/tex] не е цяло.
След това казах, че ще се "изхитря" да я преправя за рационални числа.
По-точно ще приема, че записаните под (1),(2) и (3) равенства са верни са всички двойки последователни членове до [tex]а_{n-1}[/tex] и [tex]a_n[/tex] включително, а след това ще докажа че те са верни и за [tex]а_n[/tex] и [tex]а_{n+1}[/tex]. Тогава съгласно ПМО (1),(2) и (3) ще са верни за произволни последоватени членове на редицата. В частност съгласно (2) за всеки член на редицата числителя и знаменателя на съответната му дроб са взаимно прости помежду си. Формулата за този знаменател е по-голяма от 1-ца за членовете с номер по-голям или равен на 3, т.е. самия член на редицата не е цяло число.

П.П. По-принцип можех да я опиша и по-добре. Човек схвашаш идеята би прескочил някои не дотам добре формулирани факти. Но (1), (2) и (3) не трябва да се променят.

[drago]

Ама е написано много кофти. Когато го прочетох за първи път преди няколко дни бях сигурен че е грешно, но не ми се занимаваше. След някой ден пак го погледнах и ми трябваше време да възстановя всичко, което е пропуснато и неточно. Мисля, че е ОК, нямам нерви да го проверявам, но не е написано добре. Трябва да има нещо по-изчистено.

@инвейдър: дай нямамъв линк, не я намирам в aops.com , Молдова 2011 TST има 8 задачи, но не и тази! Не ми се вярва там да не е решана!

[ptj]

О.К. Ще я опиша по-добре като ми дойде музата,но няма да е днес...

[inveidar]

Ами няма как да я намериш щото е от Хърватска! Объркал съм. Ето я: http://www.artofproblemsolving.com/comm ... ction_test

[drago]

Ами, ето там има решение, и според мен доста по чисто. Трябва само малко сметки да се провери...

[ptj]

Готова формула и 7-мокласник може да я провери.

[inveidar]

Ами, ето там има решение, и според мен доста по чисто. Трябва само малко сметки да се провери...

Ами да. Аз не съм казвал, че няма решение. Просто ми стана интересно защо в Крукс няма получено решение?
There were no solutions received to this problem. Така пише и ми стана интересно дали са получени грешни решения или задачата е супер проста и никой не се е захванал да я решава. Между другото и решенията в Аопса не съм ги проверил. И така реших да я пусна тук.