Диофантово уравнение

[LazyWorker]

Да се реши в естествени числа уравнението x⁴+7^y=10.13^z.

[ptj]

Теорема : Линейното диофантово уравнение ax + by = c има решение тогава и само тогава когато най-големият общ делител на a и b дели с.


[tex]x^4+7^y=2.5.13^z[/tex]

сл. [tex](2.5.7.13;x)=1[/tex]

[tex]2.5.13^z\equiv 1 \pmod{3}[/tex]

[tex]7^y\equiv 1 \pmod{3}[/tex]

сл. [tex]x\equiv 0 \pmod{3}[/tex]

[tex]3^4+7^1=2.5.13^1[/tex]

...

[math10.com]

Теорема : Линейното диофантово уравнение ax + by = c има решение тогава и само тогава когато най-големият общ делител на a и b дели с.


[tex]x^4+7^y=2.5.13^z[/tex]

сл. [tex](2.5.7.13;x)=1[/tex]

[tex]2.5.13^z\equiv 1 \pmod{3}[/tex]

[tex]7^y\equiv 1 \pmod{3}[/tex]

сл. [tex]x\equiv 0 \pmod{3}[/tex]

[tex]3^4+7^1=2.5.13^1[/tex]

...

Първо си объркал стойността за [tex]y[/tex].Не е 1 а трябва да е 2.И освен това написаното не е решение.Наредената тройка (x=3,y=2,z=1) е отговор на задачата , но не си доказал единственост.

[ptj]

Имах предвид 81+49=10.13, грешката е техническа.

[LazyWorker]

По какъв начин трябва да се докаже единственост на решението?