Задачи за подготовка - 2

[inveidar]

Задача 1. Целите числа [tex]a,x_1,x_2,…,x_{13}[/tex] са такива, че
[tex]a=(1+x_1 )(1+x_2 )…(1+x_{13} )=(1-x_1 )(1-x_2 )…(1-x_{13} )[/tex].
Докажете, че [tex]ax_1 x_2…x_{13}=0[/tex].

Задача 2. Няколко съпружески двойки празнували заедно в коледната вечер. Всяка от двойките имала поне едно дете, но не повече от 10 деца. Дядо Коледа избрал едно дете, една майка и един татко от три различни семейства и ги повозил на шейната. Оказало се, че той имал точно 3630 начина да избере тройката по този начин. Колко деца са присъствали на празника?

Задача 3. Продълженията на медианите [tex]AA_1,BB_1[/tex] и [tex]CC_1[/tex] на триъгълника ABC пресичат описаната му окръжност съответно в точките [tex]A_0,B_0[/tex] и [tex]C_0[/tex], така че лицата на триъгълниците [tex]ABC_0,AB_0 C[/tex] и [tex]A_0 BC[/tex] са равни. Докажете, че триъгълникът [tex]ABC[/tex] е равностранен.

Задача 4. Положителните числа [tex]a,b[/tex] и [tex]c[/tex] са такива, че [tex]ab+bc+ca=1[/tex]. Докажете, че
[tex]\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}≥2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/tex].

[Knowledge Greedy]

Ако едно от числата [tex]x_k[/tex] е нула - всичко е ясно.

Б.о.о да преномерираме числата и ги подредим така [tex]x_1\le x_2 \le ... \le x_k < 0 < x_{k+1} < ... \le x_{13}[/tex]
Тогава
[tex]-x_{13}\le x_{12} \le ... \le -x_{k+1}< 0 < -x_k \le ... \le x_{1}[/tex]
От първата поредица неравенства следва
[tex]1+x_1\le 1+x_2 \le ... \le 1+x_k \le 0 < 1+x_{k+1} \le ...\le 1+x_{13}[/tex]

От втората поредица неравенства следва
[tex]1-x_{13}\le 1-x_{12} \le ... \le 1-x_{k+1}< 0 \le 1-x_k \le ... \le 1-x_{1}[/tex]

Ако при нулата има равенство, явно [tex]a=0[/tex] и следва т.к.т.д.
Ако при нулата неравенствата са строги, ще излезе, че числото [tex]a[/tex] се представя един път като произведение на [tex]k[/tex] отрицателни и [tex]13-k[/tex] положителни,
и втори път - като произведение на
[tex]13-k[/tex] отрицателни и [tex]k[/tex] положителни цели числа - нещо, което е невъзможно, защото [tex]k[/tex] и [tex]13-k[/tex] са от различна четност, и в единия случай за [tex]a[/tex] ще се получи отрицателно, а в другия - положително.

[pal702004]

Втора задача: Нека децата са [tex]m[/tex], съпружеските двойки -[tex]n[/tex]. По условие [tex]n\le m\le 10n[/tex]

Дете може да се избере по [tex]m[/tex] начина, чужд родител - по [tex]n-1[/tex] начина, трети родител - по [tex]n-2[/tex] начина.

Или [tex]m(n-1)(n-2)=3630=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11^2[/tex]

Съседни делители са [tex](1,2)\;(2,3)\;(5,6)\;(10,11)[/tex] Условието [tex]m\le 10n[/tex] удовлетворявт само последната.

[tex]m=33,n=12[/tex]

[nevrodermit]

Задача 4:
[tex]\sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sqrt{a+\frac{ab+bc+ca}{a}}=\sqrt{a+b+c+\frac{bc}{a}}=\sqrt{(a+\frac{bc}{a})+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2}[/tex] (1).
От СА-СГ: [tex]a+\frac{bc}{a} \ge 2\sqrt{bc}[/tex]
Заместваме в (1) и получаваме:
[tex]\sqrt{a+\frac{1}{a}}=\sqrt{(a+\frac{bc}{a})+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2}\ge \sqrt{2\sqrt{bc}+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2}=\sqrt{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\sqrt{b}+\sqrt{c}[/tex] (2.1)
Аналогично
[tex]\sqrt{b+\frac{1}{b}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{c}[/tex] (2.2)
[tex]\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex] (2.3)

Събираме (2.1), (2.2) и (2.3) и неравенството излиза.

[nevrodermit]

6-те триъгълника, образувани от медианите в [tex]\Delta ABC[/tex] делят триъгълника на 6 равнолицеви триъгълници.
Тъй като [tex]C_0C_1[/tex] е медиана в [tex]\Delta AC_0B[/tex], то [tex]C_0C_1[/tex] дели лицето на [tex]\Delta AC_0B[/tex] на 2 равнолицеви триъгълника.
Следователно [tex]S_{\Delta AMC_0}=S_{\Delta BMC_0}[/tex].
Следователно (по условие) + горният факт: [tex]S_{\Delta AMC_0}=S_{\Delta CMA_0}[/tex]
от формулата за лице с ъгъл между 2 страни получаваме [tex]AM.MC_0=CM.MA_0[/tex]
От теоремата за пресичащи се хорди получаваме [tex]AM.MA_0=CM.MC_0[/tex]
Делим последните 2 равенства и получаваме [tex]MA_0=MC_0[/tex], а като заместим в 1 от тях: [tex]AM=CM[/tex]
По аналогичен начин получаваме [tex]AM=BM=CM[/tex]
Оттук е ясно, че триъгълникът е равностранен.